К онтрольні запитання

1. Що таке двогранний кут (грань кута, ребро кута)?

2. Що таке лінійний кут двогранного кута?

3. Поясніть, що таке тригранний кут (грані і ребра тригранного кута).

4. Що таке многогранник?

5. Який многогранник називається опуклим?

6. Що таке грань опуклого многогранника, ребро, вершина?

7. Що таке призма ( основи призми, бічні грані, ребра)?

8. Призма має n граней. Який многокутник лежить в її основі?

9. Що таке висота призми?

10. Що таке діагональ призми, діагональні перерізи призми?

11. Сформулюйте властивість основ, бічних граней і бічних ребер призми.

12. Яка призма називається прямою, похилою, правильною?

13. Перелічіть властивості прямої і правильної призми.

14. Доведіть теорему про бічну поверхню призми.

15. Чому рівна площа повної поверхні призми?

Тема: Розв’язування задач на властивості паралелепіпеда та знаходження площі його поверхні.

М ета заняття: формування вмінь розпізнавати і знаходити елементи паралелепіпеда, використовуючи при цьому властивості граней, діагоналей паралелепіпеда, та знаходження площі його бічної і повної поверхні.

Рис. 5	ПАРАЛЕЛЕПІПЕД Так називається призма, основи якої – паралелограми. Властивості: 1. Усі грані паралелепіпеда – паралелограми. 2. Протилежні грані паралельні і рівні. 3. Усі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам. 4. Точка перетину діагоналей – центр симетрії. 5. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх ребер:
Рис. 6	Прямий паралелепіпед: паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до основ. Властивості: 1. Бічні грані – прямокутники. 2. Основи – паралелограми
Рис. 7	Прямокутний паралелепіпед: прямий паралелепіпед, основи якого – прямокутники. Властивості: 1. Усі чотири діагоналі рівні між собою. 2. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів ребер, що виходять з однієї вершини: d2=a2+b2+c2.
Рис. 8	Куб Властивості: 1. Усі грані – квадрати. 2. Усі ребра рівні між собою. 3.

РОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ

Задача №1

Доведіть, що в будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його ребер.

Д оведення

Нехай АВСDA₁B₁C₁D₁ – даний паралелепіпед. За властивістю діагоналей паралелограма маємо

для паралелограма AA₁C₁C: ;

для паралелограма BB₁D₁D: .

Додавши ці рівності почленно одержимо:

Рис. 9

Отже ,у будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його ребер.

Задача №2

Основа похилого паралелепіпеда – квадрат із стороною а. Одна з вершин другої основи проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.

Розв’язання

Нехай у паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ : ABCD – квадрат, А₁О (АВС), точка О – центр квадрата, А₁О = Н, АВ = а.

Проведемо ОК АD, ОМ АВ; тоді А₁К АD, А₁М АВ ( за теоремою про три перпендикуляри), тобто А₁К і А₁М – висоти бічних граней ADD₁A₁ та ABB₁A₁ відповідно.

Рис.10

А₁ОК = А₁ОМ (А₁О – спільний катет і ОК = ОМ = ); звідси: А₁К = А₁М.

Оскільки AD = AB i A₁K = A₁M, то , тому .

Із А ₁ОМ : .

Тоді .

Відповідь. .

ЗАДАЧІ

1. Паралелепіпед є чотирикутною призмою. Чи є правильним обернене твердження?

2. Чи існує паралелепіпед, що не є кубом, усі грані якого рівні між собою?

3. Чи є кубом паралелепіпед, у якого рівні між собою всі ребра і плоскі кути при одній з вершин?

4. Чи може перерізом прямокутного паралелепіпеда бути паралелограмом, що не є прямокутником?

5. Куб розрізами на 27 рівних кубиків. У скільки разів загальна площа поверхні отриманих кубиків більша за площу поверхні даного куба?

6. Як зміниться площа поверхні паралелепіпеда, якщо його виміри:

1. збільшити втричі;

2. зменшити вчетверо.

7. Три грані паралелепіпеда – прямокутники. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед прямокутний? Пояснити чому?

8. У паралелепіпеда три грані мають площі 1 м², 2 м² і 3 м². Чому дорівнює повна поверхня паралелепіпеда?

9. Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней 42 см², 72 см² і 84 см².

10. Дано паралелепіпед, кожна грань якого – ромб із стороною а і кутом α. Знайдіть площу його поверхні.

11. Доведіть, що відрізок, який сполучає центри основ паралелепіпеда, паралельний бічним ребрам.

12. У прямому паралелепіпеді сторони основи 6 м і 8 м утворюють кут 30⁰; бічне ребро дорівнює 5 м. Знайдіть повну поверхню цього паралелепіпеда

13. У прямому паралелепіпеді сторони основи 3 см і 8 см, кут між ними 60⁰. Бічна поверхня дорівнює 220 см². Знайдіть повну поверхню.

14. У прямому паралелепіпеді сторони основи 3 см і 5 см, а одна з діагоналей основи 4 см. Знайдіть більшу діагональ паралелепіпеда, знаючи, що менша діагональ утворює з площиною основи кут 60⁰.

15. Знайдіть діагоналі прямого паралелепіпеда, кожне ребро якого дорів-нює а, а один з кутів основи дорівнює 60⁰.

16. Бічне ребро прямого паралелепіпеда дорівнює 5 м, сторони основи дорівнюють 6 м і 8 м, а одна з діагоналей основи дорівнює 12 м. Знайдіть діагоналі ромба.

17. У прямому паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 1 м, сторони основи дорівнюють 23 дм і 11 дм, а діагоналі основи відносяться як 2 : 3. Знайдіть площі діагональних перерізів.

18. Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда за трьома його вимірами: а) 1, 2, 2; б) 2, 3, 6; в) 6, 6, 7.

19. У прямокутному паралелепіпеді сторони основи 7 дм і 24 дм, а висота паралелепіпеда 8 дм. Знайдіть площу діагонального перерізу.

20. Знайдіть третій вимір прямокутного паралелепіпеда, якщо два його виміри дорівнюють 6 см і 7 см, а діагональ паралелепіпеда дорівнює 11см.

21. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 3 см, 2 см і 6 см. Знайдіть:

1. довжину діагоналі паралелепіпеда;

2. довжину діагоналі найменшої грані;

3. площу найбільшої грані;

4. площу найменшої грані;

5. площу поверхні паралелепіпеда.

22. У прямокутному паралелепіпеді сторони основи дорівнюють a i b. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α. Знайдіть бічне ребро.

23. У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут α, а з бічною гранею -- кут β. Знайдіть виміри паралелепіпеда.

24. Знайдіть поверхню прямокутного паралелепіпеда за трьома його вимірами: 10 см, 22 см, 16 см.

25. Знайдіть бічну поверхню прямокутного паралелепіпеда, якщо його висота h, площа основи Q, площа діагонального перерізу М.