Тема: Розв’язування задач на властивості призми та знаходження площі її поверхні.

М ета заняття: формування вмінь розпізнавати і знаходити елементи призми, використовуючи при цьому властивості граней, бічних ребер різних видів призм, та знаходження площі бічної і повної поверхні призми.

ПРИЗМА

ПОХИЛА ПРЯМА Перпендикулярний переріз Бічне ребро Висота Рис. 1 Рис. 2 Висота

ПЛОЩА ПОВЕРХНІ ПРИЗМИ
	Похила призма	Пряма призма
Бічна поверхня	Sбіч. = Рпер.· l, де Рпер. – периметр перпендикулярного перерізу, l – довжина бічного ребра	Sбіч.= Pосн.· H, де Росн. – периметр основи, Н – висота
Повна поверхня	Sповн.= Sбіч.+2·Sосн	Sповн.= Sбіч.+2·Sосн

Р озглянемо приклади Задача №1

Доведіть, що переріз призми, паралельний основам, дорівнює основам.

Д оведення

Якщо площина перерізу паралельна основі, тобто

A₂B₂C₂D₂ || ABCD, то на бічних граняхутворюються паралелограми А₁А₂D₂D_1, AA₂B₂B тощо.

Отже, площа перерізу відрізає на ребрах призми рівні відрізки АВ = А₂B_2, BC = B₂C_2, CD = C₂D₂, DA = D₂A₂.

Отже, при паралельному перенесенні площини перерізу многокутник A₂B₂C₂D₂ суміститься з основою ABCD. Тому переріз призми, паралельний основам, дорівнює основам.

Рис. 3

Задача №2

Бічне ребро похилої призми дорівнює 15см і нахилене до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть висоту призми.

Розв’язання

О пустимо з вершини призми перпендикуляр до основи. Це і буде висота призми MN, яку необхідно визначити.

Розглянемо Він прямокутний – за побудовою. (за умовою).

Отже, шукана висота MN дорівнюватиме: (см).

Рис. 4 Відповідь. 7,5 см.

ЗАДАЧІ

1. Намалюйте многогранник, який має 4 грані. Скільки ребер і вершин він має?

2. Намалюйте многогранник, який має 5 граней і 5 вершин. Скільки ребер він має?

3. Намалюйте многогранник, який має 5 граней і 6 вершин. Скільки ребер він має?

4. Скільки діагоналей і діагональних площин має правильна десятикутна призма?

5. Знайдіть градусну міру двогранного кута при бічному ребрі правильної п’ятикутної призми.

6. У трикутній призмі із двогранних кутів між бічними гранями два кути дорівнюють 20⁰ і 120⁰. Знайдіть третій кут.

7. Побудуйте чотирикутну призму, в основі якої лежить рівнобічна трапеція, а бічні ребра перпендикулярні до основи призми.

8. Побудуйте трикутну призму, у якої бічні ребра не перпендикулярні до площини основи призми. Проведіть висоту призми.

9. Побудуйте трикутну призму, у якій одна із вершин верхньої основи проектуються в центр кола, вписаного в нижню основу призми.

10. Доведіть, що діагональні перерізи призми – паралелограми.

11. Доведіть твердження: якщо діагональні перерізи призми перетинаються, то їх спільний відрізок паралельний бічному ребру.

12. Одне бічне ребро призми перпендикулярне до площини основи. Доведіть, що решта бічних ребер теж перпендикулярна до площини основи.

13. У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см, а висота призми 18 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного через бічне ребро і меншу висоту основи.

14. Основа прямої призми – прямокутній трикутник з катетами 3 см і 4 см, а висота призми 5 см. Знайдіть площу повної поверхні призми.

15. У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Бічна поверхня дорівнює 12 м². Знайдіть висоту.

16. В основі прямої призми лежить ромб із стороною а і гострим кутом α. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть повну поверхню призми.

17. Знайдіть повну поверхню призми, бічні грані якої є квадратами, а її основою є правильний трикутник, описаний навколо кола радіуса r.

18. У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см², а висота 14 см. Знайдіть діагональ призми.

19. Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює 32 м², а повна поверхня 40 м². Знайдіть висоту.

20. За стороною основи а і бічним ребром b знайдіть повну поверхню правильної призми: а) трикутної; б) чотирикутної; в) шестикутної.

21. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 4 см. Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 60⁰. Знайдіть:

    1. висоту призми;

    2. площу перерізу призми площиною, яка проходить через діагональ ниж-ньої основи та через кінець мимобіжної з нею діагоналі верхньої основи;

    3. кут нахилу площини цього перерізу до площини нижньої основи.

22. Висота правильної трикутної призми дорівнює 6 см, а діагональ бічної грані – 10 см. Знайдіть:

    1. сторону основи призми;

    2. площу перерізу призми площиною, яка проходить через сторону нижньої основи та через протилежну вершину верхньої основи;

    3. кут нахилу площини цього перерізу до площини основи.

23. Відстані між паралельними прямими, які містять бічні ребра похилої трикутної призми, дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см, а бічні ребра 5 см. Знайдіть бічну поверхню призми.

24. У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 5 см, 12 см і 9 см. Знайти бічне ребро призми, якщо бічна поверхня її дорівнює 260 см².

25. У похилій трикутній призмі дві бічні грані взаємно перпендикулярні, а їх спільне ребро дорівнює 10 см і знаходиться від інших бічних ребер на відстанях 5 см і 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

26. Потрібно обклеїти шпалерами кімнату розміром 5×4×3 м. Площа вікон і дверей складає 20 % всієї площі стін. Скільки потрібно рулонів шпалер для обклеювання, якщо в рулоні 9 м і ширина його 500 мм ?

27. Скільки треба рулонів шпалер розміром 10×0,5 м, щоб обклеїти кімнату розміром 6×4,8×3,75 м ? Кімната має 4 вікна розміром 1,8×0,75 м. На підклейку витрачається 1 % площі шпалер.