Задачі на перпендикулярність прямої і площини.

1. Чи може пряма бути перпендикулярною тільки одній прямій площини?

2. Як розміщена відносно площини круга пряма, перпендикулярна двом його діаметрам?

3. Пряма АО перпендикулярна площині кола з центром в точці О. Точка В лежить на колі. Знайти радіус кола, якщо АВ = 12 см,  АВО = 30°.

4. З вершини А правильного трикутника АВС проведено перпендикуляр АК до площини трикутника. Знайти відстань від точки К до вершини трикутника, якщо ВС = 12 см,  КВА = 30°.

5. Пряма SА перпендикулярна площині прямокутника АВСD, АD = 6 см, СD = 8 см, SСА = 30°. Знайти SА.

6. Через вершину В рівнобедреного трикутника АВС проведено перпендикуляр SВ до його площини довжиною 4 см. Знайти  SМВ, де М – середина сторони АС, якщо АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см.

7. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 18 см. Точка М знаходиться на відстані 15 см від усіх його вершин. Знайти відстань від точки М до площини трикутника.

8. Через точки А і В проведено прямі, перпендикулярні до площини α, які перетинають її в точках С і D. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо АС = 3 м, ВD = 2 м, СD = 2,4 м і відрізок АВ не перетинає площину α.

9. Верхні кінці двох вертикальних стовпів, які знаходяться на відстані

3,4 м один від одного, з’єднано поперечкою. Висота одного стовпа

5,8 м, а другого 3,9 м. Знайдіть довжину поперечки.

10. Телефонний провід завдовжки 15 м протягнуто від телефонного стовпа, де він прикріплений на висоті 8 м від поверхні землі, до будинку, де його прикріпили на висоті 20 м. Знайдіть відстань між будинком і стовпом, вважаючи, що провід не провисає.

Практичне заняття № 5 Задачі на перпендикулярність площин.

Мета заняття: формування вмінь студентів застосовувати означення та ознаку перпендикулярності площин до розв’язування задач.

Перпендикулярність площин.

Означення. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, проведена перпендикулярно до лінії перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Ознака. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Властивість. Пряма, проведена в одній з двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Р ОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ

Задача №1 (на перпендикулярність площин).

Доведіть, що коли дві площини, що перетинаються, перпендикулярні до третьої площини, то пряма їх перетину перпендикулярна до тієї ж площини.

А

α

β

В

b

a

Розв’язання. Нехай α γ, β γ, АВ – пряма перетину α і β. Доведемо, що АВ γ (рис. 7). Припустимо, що АВ не перпендикулярна до площини γ. Опустимо з точки А в площинах α і β перпендикуляри до прямих а і b – прямих перетину площин α і β з площиною γ відповідно: АМ а, АN b. Тоді АМ γ, АN γ . Отже, з точки А, яка лежить поза площиною γ, проведено дві різні прямі

А М і АN, перпендикулярні до площини γ, що неможливо. Таким чином припущення неправильне, тому АВ γ.

М

N

Рис. 7