Задачі на рівняння площини.

1. Складіть рівняння площини, яка перпендикулярна до вектора

n = (5; 0; -3) і проходить через точку А(2; -1; 4).

2. Дано точки А(1; 2; -3) і В(4; -2; 4). Складіть рівняння площини, яка перпендикулярна до прямої АВ і проходить через точку А.

3. Дано точку А (а; b; c). Напишіть рівняння площини, яка проходить через початок координат О перпендикулярно до прямої ОА.

4. Напишіть рівняння площини, яка проходить через точку А(1; -3; 5) і паралельна площині, рівняння якої 2х-3у+z+10=0.

5. При якому значенні n площина х-7у-3z+8=0 паралельна вектору

v = (-1; 2; n)?

6. П ри яких значеннях а і b площина ах+bу-2z+7=0 перпендикулярна до вектора v = (3; -4; 1)?

7. Зобразіть у системі координат площину, яка проходить через точки А(0; 0; 4), B(0; 4; 0) і С(4; 0; 0).

Знайдіть:

1. периметр і площу трикутника АВС;

2. довжину його медіаниАА₁;

3. відстань від початку координат до площини АВС.

8. Обчислити відстань від початку координат до площини α, заданої рівнянням 3х – 2у + z – 28 =0.

9. Обчислити відстань від точки М(3; 4; 5) до площини α, заданої рівнянням 2х – у – 2z – 4=0.

10. Обчислити величину кута між площинами α і β, заданими рівняннями 3х – у – 2z + 4 = 0 і 2x + 7y + 3z – 2 = 0 відповідно.

Задачі на рівняння сфери

1. Складіть рівняння сфери, яка проходить через початок координат, а центр її знаходиться у точці О(4; -4; 2).

2. Складіть рівняння сфери, яка проходить через точку А(2; -1; -3), а центр її знаходиться у точці С(3; -2; 1).

3. Складіть рівняння сфери з центром у точці В(-3; 0; 2) і

радіусом .

4. Складіть рівняння сфери з центром у початку координат і радіусом

5 см.

х² + у² +z² ≤ 4,

х² + у² +z² ≥ 1.

5. Яку фігуру визначає система

6. Яку фігуру в просторі визначає рівняння:

а) х²+(у - 2)²+(z - 1)²=9;

б) z =1;

в) х² + у² = 1?

7. Дано сферу (х + 1)² +(у - 1)² + (z + 3)² = 4. Виконайте такі завдання:

а) знайдіть відстань від центра до початку координат;

б) чи належить початок координат кулі, обмеженій даною сферою;

в) чи існують точки сфери, мають рівні абсциси, ординати і аплікати?;

г) запишіть рівняння кола, концентричному даному з радіусом 5.

8. Дано сферу (х + 3)² +у ² + (z - 1)² = 16. Виконайте такі завдання:

а) чи лежить на сфері точка ( -3; 1; 5)?;

б) знайдіть відстань від центра сфери до точки (-5; 2; 0);

в) складіть рівняння сфери такого самого радіуса з центром у

точці (-5; 2; 0);

г) чи є спільні точки у даної сфери і у сфери

(х + 5)² +(у - 2)² + z² = 4;

д) складіть рівняння сфери, симетричної даній відносно площини yz;

е) складіть рівняння сфери, симетричної даній відносно площини хz.

Д ОДАТОК 1

АКСІОМИ ПЛАНІМЕТРІЇ.

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

2. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.

3. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

4. Пряма розбиває площину на дві півплощини.

5. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжини частин на які розбивається будь-якою його точкою.

6. Кожний кут має певну градусну міру, більш від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

7. На будь-якому промені від його початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

8. Від будь-якого променя задану півплощину можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою за 180 і тільки один.

9. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому у заданому розміщенні відповідно даної пів прямої.

10. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Д ОДАТОК 2