З адачі. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.

1. З найти скалярний добуток векторів а і b, якщо:

а) а (1; -3; 8), b (4; -2; -6);

б) а (-3; -8; 9), b (-7; -1; -2);

в) а (-10; 5; 6), b (4; 2; 5).

2. З найти скалярний добуток векторів а і b, якщо:

а ) а = 8, b = 7, (а, b) = 45;

б) а = 10, b=11, (а, b) = 120;

в) а = 5, b=6, (а, b) = 90.

3. Д ано вектори а (4, -2; р) і b (5, р, -3). При якому значенні р

а  b = 8?

4. З найти косинус кута між векторами а і b якщо:

а ) а (5; -1; -2) і b (2; 6; -3);

б) а (2; -1; 2) і b (-4; 1; 3);

5. Знайти косинус кутів трикутника АВС і встановити вид цього трикутника, якщо А(1; -4; -1), В(4; 7; 0), С(-2; 1; 6).

6. При яких значеннях n дані вектори перпендикулярні:

а ) а (2; -1; 3), b (1; 3; n);

б ) a (n; -2; 1), b (n; -n; 1);

в ) а (4; 2n; -1), b (-1; 1; n)?

7. Дано точки: А(1; 0; 1), В(-1; 1; 2), С(0; 2; -1). Знайдіть на осі z таку точку D(0; 0; c), щоб вектори АВ і CD були перпендикулярні.

8. Довести, що чотирикутник ABCD з вершинами А(6; -4; 2),

В(3; 2; 3), С(0; 1; 0), D(3; -5; -1) – прямокутник.

9. Дано три точки А(0; 2; -1), В(1; 0; 1), С(-1; 1; 2). Знайдіть координати такої точки D осі z, щоб виконувалась умова ADBC.

10. Трикутник АВС рівносторонній, АВ = 12. Знайдіть скалярний добуток :

а ) АВ АС; б) АВ  ВС.

Тема 2.2 рівняння площини і сфери Анотація

Вивчення геометричних образів за допомогою метода координат природно почати з таких об’єктів, як площина і сфера.

Студенти повинні пам’ятати, що напрямний вектор площини перпендикулярний до неї, а отже до будь-якої її прямої. Тому для складання рівняння площини потрібно скористатись умовою перпендикулярності прямих, яка студентам вже відома. А для складання рівняння сфери користуються безпосередньо означенням.

При розв’язанні задач слід підтримувати високий рівень обґрунтованості висновків (з посиланням на відомі студентам в планіметрії і вивчені вже в стереометрії означення, ознаки і властивості, див. додатки).

Тема має важливе значення для вивчення аналітичної геометрії курсу „Вища математика”.

Рівняння площини.

Всяка площина задається у прямокутних координатах лінійним рівнянням виду ax+by+cz+d=0,

д е n = (а, b, c) – нормальний вектор, який перпендикулярний до даної площини.

Рівняння сфери.

Означення. Сфера – це геометричне місце (множина) точок, віддалених на задану відстань від одної точки – центра сфери; їх відстань від нього – це радіус сфери.

Рівняння сфери радіуса R з центром в точці О(а, b, с):

(х-а)² + (у-b)²+(z-c)²=R².

Рівняння сфери радіуса R з центром у початку координат:

x²+y²+z²=R².

Література

[ 3, ст. 231 – 233, 236 – 238]

[4, ст. 127 – 130]

[5, ст. 148 – 150]

[7, ст. 360– 364]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №10

Задачі на складання рівнянь площини і сфери.

Мета заняття: формування вмінь студентів складати рівняння площини і сфери.

План.

1. Задачі на рівняння площини.

2. Задачі на рівняння сфери.

Р ОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ

Задача №1 (на рівняння площини).

На пишіть рівняння площини, яка проходить через точку А(1; -3; 5) і паралельна площині, рівняння якої 2х-3у+z+10=0.

Р озв’язання. Дана площина перпендикулярна до вектора n = (2; -3; 1). Тому і паралельна їй площина, рівняння якої треба скласти, перпендикулярна до цього вектора, тобто її рівняння має вигляд 2х – 3у + z +d=0. Залишається знайти d. Оскільки точка А (1; -3; 5) належить цій площині, то її координати задовольняють дане рівняння.

Тобто 21-3 (-3)+5+d=0, звідки d = -16.

Відповідь. 2х – 3у + z -16=0.

Задача №2 (на рівняння сфери)

Записати рівняння сфери, що проходить через точки А(0; 0; 0), В(4; 0; 0),

С(0; 4; 0), якщо радіус її рівний 3.

Розв’язання. Рівняння сфери з центром О(а; b; с) і радіусом 3 має вигляд

(х - а)² + (у - b)² + (z - c)² =9.

Й ого повинні задовольняти координати точок А, В, С. Числа а, b і с відшукуються з системи трьох рівнянь, що одержуються при підстановці у рівнянні сфери координат трьох даних точок:

Почленно віднімаючи перше рівняння від другого і третього, одержуємо:

16 – 8а = 0, 16 – 8b = 0, звідки а = b = 2.

З начення с відшукується підстановкою знайдених значень а і b у перше рівняння:

4 + 4 + с² = 9, с² = 1, с₁ = 1 , с₂ = -1.

Т аким чином, існують дві сфери, що задовольняють умові задачі, їх центри О₁(2; 2; 1) і О₂ (2; 2; -1), а рівняння такі

( х -2)² + (у – 2)² + (z - 1)² = 9 ,

(х -2)² + (у – 2)² + (z + 1)² = 9.

В ідповідь. (х -2)² + (у – 2)² + (z - 1)² = 9, (х -2)² + (у – 2)² + (z + 1)² = 9.