Дифференциальное исчисление. Приращение функции и аргумента.

Пусть дана функция y=f(x)

а) б)

в )

x₀ – первоначальное значение аргумента.

f(x₀) – первоначальное значение функции.

x – наращенное значение аргумента.

f(x) – наращенное значение функции.

x-x₀=тр-к х – приращение аргумента.

f(x)-f(x₀)=y-y₀=тр-к у – приращение функции.

x=x₀+тр-к х, тогда f(x)=f(x₀+тр-к х) и тр-к у=f(x₀+тр-к x)-f(x₀).

На рисунке а) у=f(x), вверх, следовательно f(x)-f(x₀)=тр-к y>0 и тр-к х>0.

На рисунке б) y=f(x), вниз, следовательно f(x)-f(x₀)=тр-к у<0 и тр-к х>0.

На рисунке в) у=f(x), - const, следовательно f(x)-f(x₀)=тр-к у=0 и тр-к х>0.

Следовательно для различных функций будем считать, что треугольник х>0, а треугольник у может быть положительной, отрицательной и равной нулю.

Пример:

Пусть дана функция y=2x²-3=f(x). Найти приращения этой функции в точке x₀ при заданном значении треугольника х.

x=x₀+тр-к х (говорят – «Дадим x₀ приращение тр-ка х).

f(x)=f(x₀+ х)=2(x₀+ x)²-3 = 2x₀+4x₀ x+2( x)²-3

f(x)= y=f(x₀+ x)-f(x₀) = 2x₀²+4 x₀ x+2( x)²=2x₀²+3-3=4x₀ x+2 ( x)² – ответ.

Производная функции.

Определение:

Производной функции f^/(x) или у^/ от данной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.

Чтобы найти производную функции, необходимо выполнить следующие шаги:

у^/=lim x 0,

1. f(x+ x)=… найти наращенное зная функцию.

2. y=f(x+ x)-f(x)=… - приращение функции.

3. = =… - отношение у к х.

4. y^/=lim x 0, =lim x 0, =… - предел этого отношения при x 0.

Этот алгоритм нахождения производной называется дифференцированием функции.

Понятие производной является одним из основных и важнейших понятий математического анализа. К понятию производной приходится обращаться при решении целого ряда задач по физике, механике и геометрии, связанных с изучением скорости некоторого процесса.

Так при движении материальной точки по прямой при неравномерном движении проёденный путь будет зависеть от времени. За период времени t, точка пройдет путь S при достаточно малом значении t скорость можно считать постоянной и тогда V_ср= при t 0 V_ср V_сигн V_сигн=lim t 0, V_cp = lim t 0, =S^/ |S^/(t)=V^*в данный момент времени.

Ф ормулу * называют физическим смыслом производной, то есть производная – есть скорость изменения функции в данной точке. (или мгновенная скорость движения). Производная функции имеет и геометрический смысл.

Пусть y=f(x) имеет x₀, f(x₀), x+ x, и f(x₀+ x). М₀ и М соответствую x₀ и х и лежат на графике у=f(x), тогда (М₀М) – секущая. Из М₀NM имеем: tg = = (1)

Пусть точка М, двигаясь по кривой неограниченно близко приближается к точке М₀. Тогда будут происходить следующие процессы:

(М₀М) (М₀К) – касательной к графику у=f(x) в точке М₀.

М М₀ х 0.

d tg tgd

В равенстве (1) перейдем к пределу при х 0.

L

у^/(x₀)=K_касат.

im х 0, tg =lim х 0, tgd=y^/(x₀), но tgd=K_касат., значит у^/(х₀) – есть угловой коэффициент касательной, проведенной к данной кривой у=f(x) в данной точке х₀.

Это есть геометрический смысл производной функции.

(M₀K) – касательная.

(M₀N) (M₀K).

(M₀N) – нормаль к графику.

y-y₀=k (x-x₀) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если k=k_касат.=f^/(x₀), то у-у₀=f^/(x₀) (x-x₀) – уравнение касательной.

Если k=k_норм.= = , то у-у₀= (х-х₀) – уравнение нормали.

Правила дифференцирования функции.

Для нахождения производной можно воспользоваться алгоритмом, но эта работа будет очень трудоемкой и нерациональной. Этим алгоритмом можно воспользоваться для вывода формул дифференцирования подразделив все функции на большие классы. А затем использовать эти формулы для различных функций в этих классах.

Основные формулы дифференцирования:

1. (с^/)=0 (с-const).

2. (x)^/=1.

3. (u+v-w)^/=u^/+v^/-w^/, где u, v, w – есть функции от х.

4. (u v)^/=u^/ v+u v^/.

5. (u c)^/=c (u)^/.

6. .

7. (ln u)^/ = , (log_au)^/ = .

8. (а^u)^/ = а^u ln a u^/; (e^u)^/=e^u u^/.

9. (u^m)^/ = m u^m-1 u^/; ( )^/ = .

10. (sin u)^/ = cos u u^/.

11. (cos u)^/ =-sin u u^/.

12. (tg u)^/ = .

13. (ctg u)^/ = - .

14. (arcsin u)^/ = .

15. (arccos u)^/ = - .

16. (arctg u)^/ = .

17. (arcctg u)^/ = - .

18. y=f(ц(x)), то y^/=f^/_ц ц^/_х, - произведение сложной функции.

19. x=f(t) и у=ц(t), то y^/_x = , - функция задана параметрически.

20. Дифференцирование неявной функции.

а) Продифференцировать функцию по х, учитывая, что у=f(x).

б) Разрешить полученное выражение относительно у^/.