Сопряженная гипербола.

Если фокусы гиперболы находятся на оси (ОУ), гипербола называется сопряженной. - =-1,

где а²= с²-в²,

|AA₁|=2a – мнимая ось.

|BB₁|=2в – вещественная ось.

F;F₁;0(0; с), (MP) и (NQ) – асимптоты.

у= x. е = = е = , е=

Пример №1.

Найти все элементы гиперболы.

- =-1 – это сопряженная гипербола, следовательно. a²=c²-в²

a²=36; в²=64; с²= a²+в²=36+64=100;

а=6, в=8, с=10, тогда.

В ,В₁(0;+8); А,А₁( 6;0); F,F₁ (0; 10)

|BB₁|=16; |AA₁|=12; |FF₁|=20 Ответ.

y= ·х= х; е= = =

Пример №2.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= ·х и она проходит через точку М₁(6;-4).

Р ешение: так как у= ·х = .

Так как точка М₁ принадлежит гиперболе, то координаты точки удовлетворяют уравнению гиперболы.

- =1 - =1.

Уравнения и мы решаем системой.

a²=12; в²=8, тогда - =1 – ответ.

=

- =1

Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости расстояние от каждой из которых до точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, равны между собой.

Расстояние от фокуса до директрисы |FK|=P и называется параметром параболы.

N (- ;y). NM {x+ ;0}. FM {x- ;y}.

| NM| = ; |FM| =

=

И

збавившись от корней и, выполнив алгебраические преобразования, получим у²=2рх. Ветви этой параболы направлены вправо, вершина в точке О (0;0).

у²=2рх

(Ox) – ось симметрии

y²=-2px

(Ox) – ось симметрии

х²=2ру

(оу) – ось симметрии

х²=-2ру

(оу) – ось симметрии

Парабола со смещенной вершиной.

Пусть вершиной параболы будет точка А (х₀;у₀).

|KF|=P, точка А делит |KF| напополам. у=у₀ – ось симметрии F(x₀+ ;у₀) директриса будет иметь уравнение: х=х₀- .

Уравнение параболы (у-у₀)²=2р(х-х₀).

Уравнения остальных парабол со смещенной вершиной будут выглядеть так:

(у-у₀)²=-2р(х-х₀) – ось симметрии || (ОХ), ветви направлены влево.

(x-x₀)²= 2р(y-y₀) – ось симметрии || (ОУ), ветви направлены вверх, если (+), вниз, если (-).

Пример №1.

Н

Так как у², то ветви будут направлены влево или вправо, следовательно приведем к виду (у-у₀)²=2р(х-х₀)

айти все элементы параболы.

у²-8у-8х-8=0

у²-8у=8х+8

у²-2·4·у+4²=8х+8+4²

(у-4)²=8х+24

(у-4)²=8(х+3) А (-3;4) 2p=8 =2

F

(-3+2;4)=(-1;4), x=-3-2=-5. x=-5 – директриса,

у=4 – ось симметрии ветви параболы вправо.

Элементы высшей алгебры.

Матрицы.

О пределение: Таблица, составленная из чисел, вида

а₁₁ а₁₂ а₁₃ …..a_1n

А= a₂₁ a₂₂ a₂₃ …..a_2n называется матрицей

………………….

a_m1 a_m2 a_m3….a_mn

Коротко матрица записывается А=(а_ij) (i=1,2…m; j=1,2,…n);

Если m=n, то матрица называется квадратной

Если m n, то матрица называется прямоугольной

Е сли m=1, n>1, то А=(a₁ a₂ a₃ …a_n) – односторонняя матрица

а₁

а₂

Если m>1, n=1, то А= .. - одностолбцовая матрица

..

a_m

Действия над матрицами.

Сложение матрицы с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов можно складывать.

Причем: а_ij в_ij=c_ij (i=1,2…m; j=1,2,…n);

А В=С

П ример.

2 3 4 -1 4 -2 2+(-1) 3+4 4+(-2)

5 7 -1 + 3 -1 0 = 5+3 7+(-1) -1+0 =

8 9 -5 -5 3 2 8+(-5) 9+3 -5+2

1 7 2

= 8 6 -1

3 12 -3

Умножение на число.

А= ∙(а_ij) (i=1,2…m; j=1,2,…n);

При умножении матрицы на число, все ее элементы умножаются на это число.

П ример.

2 3 4 2∙5 3∙5 4∙5 10 15 20

5∙ 5 7 -1 = 5∙5 7∙5 -1∙5 = 25 35 -5

8 9 -5 8∙5 9∙5 -5∙5 40 45 -25

Умножение матриц.

Произведением матрицы А=(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(в_ij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=(с_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которого элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, то есть с_ij=a_i1∙в_1j+a_i2∙в_2j+…+a_ik∙в_kj , (i=1,2…m; j=1,2,…n).

Причем k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение неопределено.

П ример.

1 3 -4

2 3 4 5 -3 2 =

5 6 7 -2 4 3

2

=

=

∙1+3∙5+4∙(-2) 2∙3+3∙(-3)+4∙4 2∙(-4)+3∙2+4∙3 9 13 10

5∙1+6∙5+7∙(-2) 5∙3+6∙(-3)+7∙4 5∙(-4)+6∙2+7∙3 21 18 13

Определение: Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единицы, называются единичной матрицей и обозначается Е.

1 0 0 .. 0

Е =

0 1 0 .. 0 Она обладает свойством А∙Е=А, если

…………………………..

0 0 0 .. 1

А – квадратная и Е – квадратная с тем же количеством строк и столбцов что и А

.

Каждой матрице соответствует свой определитель (ДЕТЕРМИНАНТ).

a₁ в₁ c₁ a₁ в₁ c₁

А= a₂ в₂ с₂ треугольник = a₂ в₂ с₂

а₃ в₃ с₃ а₃ в₃ с₃

Теория матриц и определителей имеет широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию и решению системы трех линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными.

a ₁x+в₁y₊c₁z=d₁

a₂x+в₂y₊c₂z=d₂

a₃x+в₃y₊c₃z=d₃

Упорядоченная тройка чисел (x₀;y₀;z₀) является решением системы, если в результате подстановки этих чисел в систему вместо x,y,z все три уравнения обращаются в верные равенства.

Геометрически каждое уравнение системы - есть плоскость. Три плоскости в пространстве могут располагаться следующим образом:

1. Все три плоскости пересекаются в точке M₀ (x₀;y₀;z₀) – координаты этой точки и есть решение системы. Система будет иметь единственное решение.

2. Все три плоскости параллельны или две из них параллельны, а третья пересекает их, или совпадает с одной из них. Тогда общих точек плоскостей нет. Система не будет иметь решений.

3. В се три плоскости совпадают. Получается бесконечное множество общих точек. Система будет иметь бесконечное множество решений.

Единственное решение.

Для решения системы алгебраически составим определители.

- главный, _х – вспомогательный по х.

_у – вспомогательный по y

_z – вспомогательный по z.

a₁ в₁ c₁ d₁ в₁ c₁

= a₂ в₂ с₂ ; _х= d₂ в₂ с₂

а₃ в₃ с₃ d₃ в₃ с₃

_. a₁ d₁ c₁ a₁ в₁ d₁

_у= a₂ d₂ с₂ ; _z= a₂ в₂ d₂

а₃ d₃ с₃ а₃ в₃ d₃

1. Если ∆ 0, то система имеет единственное решение

х= ; y= ; z= .

Это формулы Крамера (Швейцарский математик).

2. Если ∆=0, ∆_х 0 или ∆_у 0 или ∆_z 0, то система не имеет решения.

3. Если ∆=∆_x∆_y=∆_z=0, то система имеет бесконечное множество решений.

С истема. а₁x+в₁у+с₁z=0

a₂x+в₂у+с₂z=0 называется однородной системой

а₃x+в₃у+с₃z=0

Эта система всегда имеет решение М₀(0;0;0).

Матричная запись системы линейных уравнений.

а₁x+в₁у+с₁z=d₁

a₂x+в₂у+с₂z=d₂

а₃x+в₃у+с₃z=d₃

Введем обозначения:

a ₁ в₁ c₁ х d₁

А= a₂ в₂ с₂ ; Χ= у Д= d₂

а₃ в₃ с₃ z d₃

Тогда система запишется следующим образом X-неизвестный вектор - столбец. Д-известный вектор - столбец. А∙Х=Д

Определение: обратной для матрицы «А» называется такая матрица, которая удовлетворяет условию.

А^-1∙А=A∙A^-1=E, где Е – единичная матрица.

Е сли , то

А₁/∆ A₂/∆ A₃/∆

А^-1= B₁/∆ B₂/∆ B₃/∆ , где A_i;B_i;C_i –алгебраические дополнения соответственно

C₁/∆ C₂/∆ C₃/∆ элементов a_i в_i c_i (i=1,2,3).

Тогда решение системы будет:

А∙Х=Д | ∙А^-1 A∙A^-1∙X=Д ∙А^-1 E∙X=Д ∙А^-1 X=Д∙А^-1 – решение в матричной форме.

Пример. Решить систему по формулам Крамера и матричным способом.

А) Метод Крамера:

x +2y+z=1 1 2 1

2x+y+z=-1 ∆= 2 1 1 = 1+6+2-1-4-3=9-8=1 0

x+3y+z=2 1 3 1 имеет единственное решение.

1 2 1

∆_x= -1 1 1 = 1+4-2-2+2-3=7-8=-1

2 3 1

1 1 1

∆_y= 2 -1 1 = -1+4+1+1-2-2=6-5=1

1 2 1

1 2 1

∆_z= 2 1 -1 = 2+6-2-2-8+3=-11+11=0

1 3 2

x= = =-1; y= =1; z= =0

Ответ: (-1;1;0)

Б) Матричным способом. ∆=1 (найдено в А)

a_i b_i c_i

1 2 1 1

Составим матрицу А= 2 1 1 ; Д= -1

1 3 1 2

Находим алгебраические дополнения

А₁= ∙ (-1)¹⁺¹=1-3=-2; A₂= (-1)²⁺¹∙ = -1∙ (2-3)=1; A₃= (-1)³⁺¹∙ = 2-1=1

B₁= (-1)¹⁺² = -1; B₂= (-1)²⁺² ∙ = 0; B₃= (-1)³⁺² = -1(-1)=1

C₁= (-1)¹⁺³ = 6-1=5 C₂= (-1)²⁺³ = -1 C₃= (-1)³⁺³ = 1-4=-3.

-2/1 1/1 1/1 -2 1 1

A^-1= -1/1 0/1 1/1 = -1 0 1

5/1 -1/1 -3/1 5 -1 -3

Ответ: (-1;1;0)

В) Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса, немецкий математик, 1777-1855 гг.)

Рассмотрим эту же систему:

x +2y+z=1

2x+y+z=-1

x+3y+z=2

С оставим для этой системы расширенную матрицу.

1 2 1 1

2 1 1 -1 ~

1 3 1 2

Обнулим во второй строке первый элемент, в третьей строке первый и второй элементы.

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

0 -3 -1 -3 ~ 0 1 0 1 ~ 0 1 0 1

0 1 0 1 0 -3 -1 -3 0 0 -1 0

З апишем систему, соответствующую конечной матрице:

x+2y+z=1 x+2∙1+0=1 x=-1

y=1 y=1

-z=0 z=0

Ответ: (-1;1;0).

Второй матричный способ решения системы.

x ₁-2x₂+3x₃=2

2x₁-3x₂+7x₃=7

3x₁-4x₂+5x₃=6

1 -2 3

Составляем ▲= 2 -3 7 = -15-24-42+27+20+28=-81+75=-6 0

3 -4 5

Значит можно решать матричным способом.

Составим матрицу из дополнений:

-3 7

А₁₁=(-1)¹⁺¹ -4 5 = -15+28=13

2 7

А₁₂=(-1)¹⁺² 3 5 = -(10-21)=11

2 -3

А ₁₃=(-1)¹⁺³ 3 -4 = -8+9=1

-2 3

А₂₁=(-1)²⁺¹ -4 5 = -(-10+12)=-2

1 3

А₂₂=(-1)²⁺² 3 5 = 5-9=-4

1 -2

А₂₃=(-1)²⁺³ 3 -4 = (-1) (-4+6)=-2

-2 3

А₃₁=(-1)³⁺¹ -3 7 = -14+9=-5

1 3

А₃₂=(-1)³⁺² 2 7 = -(7-6)=-1

1 -2

А₃₃=(-1)³⁺³ 2 -3 = -3+4=1

13 11 1

А^* = -2 -4 -2 Транспонируем эту матрицу (меняем местами строки

-5 -1 1 и столбцы.

13 -2 -5

А^~= 11 -4 -1 Затем получаем обратную матрицу.

1 -2 1

А^-1= A^~= = ;

X 2 2+ 7+ 6 + +5

Y = 7 = 2+ 7+ 6 = + +1 =

Z 6 2+ 7+ 6 + -1

3

= 2 Ответ: (3;2;1).

1