Э ллипс.

Э ллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых, до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная большая, чем расстояние между фокусами.

|F₁M| + |FM|=2a – векторное уравнение.

2a>2c

| FF₁|=2c, следовательно F₁(-c;0), F(c;0), M(x;y).

|F₁M| =

|FM| =

+ =2a

Избавимся от иррациональности и введем величину в²=а²-с².

Тогда получим уравнение + =1, где в²=а²-с².

А₁;А – вершины эллипса А₁ ;А( а;0)

В₁ ;В - вершины эллипса В₁ ;В (0; в).

F₁ ;F – фокусы эллипса F₁ ;F( c;0)

|А₁A|=2a – большая ось эллипса.

|BB₁|=2в – малая ось эллипса.

| FF₁|=2c – фокусное расстояние эллипса.

|

фокальные радиусы точки М. r₁+r=2a

--

F₁M|=r₁

|FM|=r

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси его.

e= = = e= , так как а>c,то 0 e 1.

Если е 1, то с а, следовательно в 0 – эллипс сужается к оси(ОХ).

Если е 0, то с 0, следовательно в а – эллипс стремится занять положение окружности.

Если е=0, то с=0, следовательно в=а, + =1, где а²=а²-с².

х²+у²=а² и с=0, следовательно F₁=F=0 – центр окружности.

Окружность – есть честный вид эллипса при условии, что, а=в.

Е сли фокусы находятся на оси (ОУ), то уравнение + =1, где а²=в²-с².

е= = e= .

Е

A₁(- ;0)

сли центр эллипса смещен в т. М₀(х₀;у₀),

то уравнение эллипса будут:

+ =1, в²=a²-с² , - на (ОХ).

+ =1, а²= в²-с² , - на (ОУ).

Пример №1.

+ =1. Найти все элементы эллипса.

a²=64, в²=36, в²=а²-с² с²=а²-в²=64-36=28

а=8; в=6; с=2

А ;А₁ ( 8;0); B;B₁ (0; 6); F;F₁( 2 ;0).

|

Ответ.

AA₁|=2a=16; |BB₁|=2в=12; |FF₁|=2c=4

e = = = =

Пример №2.

Составить уравнение эллипса, если большая ось равна 50, фокусы находятся на оси (ОУ) и е = 0,6.

Так как F₁F находятся на оси (ОУ), то:

+ =1, где а²=в²-с², e= .

|BB₁| - большая ось эллипса 2в=50 в=25.

=0,6 с=0,6·25 с=15; a²=25²-15²=500.

Получим + =1 – ответ.

Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых, до двух точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

||F₁M|-|FM||=2a, 2a<2c |FF₁|=2c - Векторное уравнение гиперболы.

Аналогично выводу уравнения эллипса. При условии, что

в²= с²-а². + =1, где в²= с²-а².

A ;A₁( a;0) – вещественные вершины гиперболы.

|AA₁|=2a – вещественная ось гиперболы.

B;B₁ (0; в) – мнимые вершины гиперболы.

|BB₁|=2в – мнимая ось гиперболы.

F;F₁( с;0) – фокусы.

|FF₁|=2c – фокусное расстояние.

(МР) и (NQ) - асимптоты гиперболы.

У= ·х – уравнение асимптот гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния и длина вещественной оси гиперболы.

е = = е = , так как a<c, то e>1.

Если е , то с , в , т. е. ветви гиперболы расширяются.

Если е 1, то с а, в 0, т. е. ветви гиперболы сужаются.

Е

y

сли в=а, то + =1, где а²=с²-а²,

x²-y²=a²(уравнение равносторонней гиперболы), где с²=2а² с=а

e = = =

e=

(MN);(NQ): y= 1·x – уравнение асимптот.