12) Угол между прямыми.
О
пределение.
За угол между прямыми принимаются
наименьший из углов образованных этими
прямыми.
l1
:
A1x+B1y+C1=0,
{A1;B1}.
l2
:
A2x+B2y+C2=0,
{A2;B2}.
l1l2
=
=φ.
Найдем
cos φ =
где • = A1•A2+B1•B2
|
|
=
;
|
|
=
;
Если l1 || l 2 , то φ=0 или φ =π cos φ = 1
Если l 1 l 2 , то φ =900 и cos φ =0
Если φ <900, то cos φ >0
Если 900< φ <1800, то cos φ <0
|cos
φ |
1.
!
У
гол
α2
– внешний угол треугольника АВС
α 2= α 1+ φ φ = α 2- α 1
tg
φ =tg(α
2- α
1) =
tg α 2=k2, tg α 1=k1.
Тогда tg
φ =
.
Формула tg φ, φ образован при повороте прямой l1 вокруг точки В до совмещения с прямой l2 (против часовой стрелки).
Если l1||l2, то φ =0 и φ =1800 k2=k1
Если l1 l2, то φ =900, tg900 – не существует, но ctg900=0,
т.е.
= 0
1+k2
k1=0,
k2=-
Если l1
l2=B,
φ <900,
то tg
φ >0.
Если 900< φ <1800, то tg φ <0.
В
)
Взаимное расположение двух прямых.
l1 имеет k1 и {A1;B1}
l2 имеет k2 и {A2;B2}
l1 : A1x+B1y+C1=0
l2 : A2x+B2y+C2=0
Если l1 l2 = M0(x0;x0), то
М0(х0;y0)
A2x+B2y+C2=0
* Если
l1||l2,
то
||
=
и k1=k2
** Если l1
l2,
то
A1
•A2+B1
•B2=0
и k2=-
Если l1=l2,
то
=
=
.
* и ** есть условия параллельности и перпендикулярности прямых.
1 3) Площадь параллелограмма и треугольника.
Найдем координаты векторов, которые о бразуют данный параллелограмм.
А В {x2-x1; y2-y1}
AC {x3-x1; y3-y1}
По определению векторного произведения векторов (лекция 3 п.1).
S ABCD=|AB•AC|
x2-x1
y2-y1
x3-x1
y3-y1
=1,
то
SABCD =
x2-x1
y2-y1
x3-x1
y3-y1
SABC=
Пример: А (2;-3) В(4;2) С(-1;5)
а
2 5
-3 8
)
АВ {2;5} AC
{-3;8}
SABC= | |= |(16+15)| = •31=15.5 (кв.ед.) - Ответ.
б
-2
-5
-5 3
SABC
=
|
| =
|
(-6-25) | =
•
-31|
=
•31
= 15.5 (кв.ед.) - Ответ
Площадь треугольника не зависит от выбора пары векторов
Sтреугольника=
|AB*AC|
=
|BA*BC|
=
|CA*CB|.
Тема: кривые второго порядка.
К
кривым второго порядка относятся эллипс,
окружность, гипербола, парабола.
Кроме того, в некоторых случаях уравнение
второй степени может определить две
прямые, точку и мнимое геометрическое
место. Все эти линии являются частными
случаями уравнения второй степени с
двумя неизвестными.
Ах2+Ву2+Сху+Dх+Еу+F=0 (*)
Окружность.
Окружностью называется множество точек плоскости расстояние от каждой из которых до точки, называемой центром, есть величина постоянная, называемая радиусом окружности.
П усть точка О1(х0;y0), М(х;у) – принадлежит окружности, тогда по определению |O1M|=r – это есть векторное уравнение окружности.
O
1M
{x-x0;y-y0}
|O1M|
=
=
r.
(x-x0)2+(y-y0)2=r2
Е
сли
М1 (0;у0),
то окружность с центром в этой точке
имеет уравнение:
х2+(y-y0)2=r2 – (ω1).
Если М2(х0;0), то (х-х0)2+у2=r2 - (ω2)
Если О (0;0), то х2+у2=r2 – (ω3).
Покажем, что при условии А=В и С=0 уравнение * есть уравнение окружности.
Ах2+Ау2+Dх+Еу+F=0 |:A
x2+y2+
x+
y+
=0
(x2+2
x+
)+(y2+2
y+
)
= -
+
+
(x+
)2+(y+
)2
= (
)2
– это есть окружность с центром в точке
М0
(-
;-
)
и r=
.