7) Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
П
l
{m,n}
и
//
l.
-
направляющий вектор прямой. М0
(х0;у0),
М(х;у). М0М
{x-x0
; y-y0},
так как
//
М0М
t
,
где t
R
(R
– множество
действительных чисел)
М0М
=
t
x-x0=t•m y-y0=t•n
x=x0+t•m y=y0+t•n
=
параметрическое уравнение прямой каноническое уравнение прямой
8) Расстояние от точки до прямой
а
)
L:
Ах+Ву+С=0
M0 (x0 ; y0 ) {A,B};
M
1(x1
; y1)
l,
Ах1+Ву1+С=0 (и) С=-Ах1-Ву1
б
)
l
имеет
{A,B};
//M1M0
=00
или
1800
( - угол между и M1M0).
Т
огда
cos
=
1.
M1M0
{x0-x1;y0-y1}.
в) Найдем • M1M0 = А(х0-х1)+В(у0-у1) = Ах0+Ву0+(-Ах1-Ву1)
Из подставим во и получим M1M0 = Ах0+Ву0+С
г)
•
M1M0
= |
|•| M1M0
|• cos
=
|
|•| M1M0
|
Сравним и .
|
|•| M1M0
| = Ах0+Ву0+С
откуда
| M1M0|
= dl
=
9 ) Уравнение биссектрисы угла.
L1: A1x+B1y+C1=0
L2: A2x+B2y+C2=0
L – биссектриса угла А. М(х;у) L,
тогда | MM1 | = | MM2 | - есть векторы уравнения биссектрисы D1=D2 (Расстояния от точки М (х;у) до прямых L1 и L2 одинаковы).
=
Пример №1. Написать уравнение биссектрисы угла, образованного прямыми L1, L2, в котороым лежит точка О (0;0).
L1: x1+2y-5=0; 1 {1;2} = {A1;B1}
L2: 3x-6y+2=0; тогда 2 {3;-6} = {A2;B2}.
=
=
Проверим знак прямых L1 и L2 в точке О (0;0).
L1: 0+2 0-5=-5; <0
L
2:
0-0+2=2; >0, при этих условиях раскрываем
модули:
|
|3x-6y+2|=3x-6y+2
-
=
-3x-6y+15=3x-6y+2
6x-13=0
Уравнение биссектрисы. x=
,биссектриса параллельна ОУ.
10) Ориентация полуплоскости.
l
:
Ax+By+C=0
если
Ах1+Ву1+С
>0, то
если
Ах2+Ву2+С
<0, то
Пример
№2. Найти уравнение биссектрисы 
угла
А, треугольника АВС.
Составим уравнение (АС), проходящей через две точки.
=
8х+у-4=0 (АС)
аналогично уравнение
(АВ):
=
х-3у-14=0 – это (АВ).
По
п. 8 имеем.
=
Сориентируем L1 и L2 относительно любой точки, находящейся внутри угла ВАС. Этой точкой может быть середина отрезка ВС. М (2,5; -7,5) или любая другая точка на прямой ВС.
в
L2: 8 2,5-7,5-4, < 0 |8x+y-4| = -8x-y+4
- выполним
преобразования
и приведем к виду
(
+8
)
х
– (3
-
)
у
- (14
+4
)
= 0. – уравнение биссектрисы l.
Аналогично можно найти уравнения биссектрис и других внутренних углов этого треугольника.
11) Угловой коэффициент прямой.
О
пределение.Угловым
коэффициентом называют тангенс угла
наклона прямой к положительному
направлению оси (ОХ).
k=tg φ *
Если φ<900, то k>0
Если φ>900, но φ<1800, то k<0
Если φ=900, то k – не существует
Если φ=00 или φ=1800, то k=0
Е
сли
прямая проходит через две точки М1(х1;у1)
и М2(х2;у2)
образует с осью Оx угол
,
то из треугольника М1NM2
найдем
tg
φ=
=
tg
φ=k.
k
=
**
Кроме этого в п. 1
мы обозначили k=-
****,**,*** три способа нахождения углового коэффициента прямой.
k=tgφ, k = , k =- .