Векторы в пространстве.

Определение вектора, действия над векторами, виды векторов, способы задания векторов на плоскости и в пространстве аналогичны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Векторы, принадлежащие одной плоскости после сведения их к одному началу, называются компланарными.

{ ; ; } d  , , - компланарны

d, следовательно.

и

и - не компланарны

и

Определение: Векторы , , единичные и взаимно перпендикулярные образуют прямоугольную систему координат пространства (x;y;z).

М (x;y;z) – упорядоченная тройка чисел.

Z –аппликата точки М.

Во всех формулах, полученных в лекции №1, добавляется третья координата.

1. = {x₂-x₁;y₂-y₁; z₂-z₁} – координаты вектора, если А (x₁;y₁;z₁); B (x₂;y₂;z₂).

2. = - формула длины вектора.

=0

Уравнение линии

Определение: Уравнение с двумя неизвестными f(x;y)=0 являются уравнением линии, тогда и только тогда, когда координаты всех точек этой линии удовлетворяют уравнению этой линии, а координаты точек не принадлежащих этой линии не удовлетворяют уравнению.

х²+у²=25 т. М₁(3;4) – удовлетворяют уравнению, значит точка М₁ – принадлежит графику М₂ (2;-1) – не принадлежит линии.

Уравнение прямой

Прямая линия есть простейшая из кривых на плоскости. Задав на плоскости систему координат, положение любой прямой на координатной плоскости можно определить различными способами, т.е. при помощи различных параметров. В зависимости от выбора этих параметров, определяющих положение прямой на плоскости, мы получим несколько видов уравнений прямой, которые будут полезны при решении различных типов задач.

1) Уравнение прямой в общем виде.

Д окажем, что уравнение Ах+Ву+С=0 – уравнение первой степени с двумя неизвестными является уравнением прямой при различных значениях А, В, С.

а) Пусть А=С=0, В 0

Ву=0, следовательно у=0 – ось (ОХ)

б) Пусть В=С=0, А 0

Ах=0, следовательно х=0 – ось (ОУ)

в) Пусть А=В=0, С 0

0=С (такого быть не может)

г) Пусть А=0, В 0, С 0

Ву+С=0, следовательно у=- = в, у=в || (OX)

д) Пусть В=0, А 0, С 0.

Ах+С=0, следовательно х=- =а, х=а || (ОУ).

е ) Пусть С=0, А0, В0.

Ах + Ву = 0  у=

 у = • x

ж) Пусть А0, В0, С0.

Ах+Ву = -С 

у = + ( )

у = κх + в, - прямая не проходит

через начало координат. Получим, что уравнение Ах+Ву + С = 0 при различных

значениях А, В, С содержит в себе все случаи взаимного расположения прямой осей координат. Значит уравнение Ах+Ву + С = 0 - уравнение прямой в общем виде.

2) Уравнение прямой в отрезках.

П реобразуем Ax+By+C=0

A x+By=-C : (-C)

- •x+ (- )•y=1

Если х=0у=b; В(0;b).

У=0х=а; А(a;0)

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки.

M ₁ (x₁;y₁) : M2 (x₂;y₂).

M (x;y) – точка с текущими координатами.

М₁М {x-x₁; y-y₁} M₁M₂ {x₂-x₁; y₂-y₁}.

M₁M₂ || М₁М

= или

4) Уравнение прямой с заданным нормальным вектором.

Вектор {A; B} и l, называется нормальным вектором прямой l.

Пусть М₀ (х_0;у₀). М (х_;у); {A;B}; l {M₀}; l

M ₀M {x-x₀; y-y₀}

{A;B}. M₀M •M₀M =0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Раскроем скобки Ах+Ву+(-Ах₀-Ву₀)=0

Ах+Ву+С=0 – уравнение прямой в общем виде.

Если 2х+3у+5=0 {2;3}.

-4х+2у-1=0 {-4;2}.

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку М₀(х_0;у₀).

А(х-х₀)+В(у-у₀)=0

В(у-у₀)=- А(х-х₀)

у-у₀=- (х-х₀); =κ

y-y₀= κ (x-x₀).

6) Уравнение пучка прямых.

П учком прямых называется множество прямых, проходящих через одну точку – М₀ (х₀;у₀). Прямые L1, L2, L3…отличаются только угловым коэффициентом, следовательно у-у₀=κ(х-х₀) можно

считать уравнением пучка прямых

при условии, что κ будет меняться.

М₀(х₀;у₀) – центр пучка. L₀ (ox) 

Tg90⁰ – не существует. Значит в

уравнении y-y₀=κ(x-x₀) не содержит

уравнение прямой L₀. Ее уравнение

будет х=х₀, так как κ=tg90⁰ – не существует.