3. Формы комплексного числа
3.1. Алгебраическая форма
С
+
z2=a2+в2i
z1+ z2=( a1+ a2)+(в1+ в2)i
В
-
z2=a2+в2i
z1- z2=( a1-a2)+(в1+ в2)i
Умножение:
Лучше перемножать как два двучлена.
Деление:
Пример 6.
Возведение в натуральную степень
Пример 7.
Возведение в натуральную степень
Пример 8.
-
результатом извлечения корня будет
тоже комплексное число, т.е.
Наша задача найти
x
и y.
По определению
корня имеем:
Из условия равенства двух комплексных чисел (см. пример 3) имеем:
Решаем
полученную систему:
Используя теорему Виета, получаем:
-
если
если x2 =-1, то –y2 =-4
этот случай невозможен
т. к.
,
то выбираем значения х
и у с
разными знаками, т. е.
- если х=2,
то у=-1,
- если х=-2,
то у=1
Ответ:
3 .2. Геометрическая форма
z
=a+вi
–этому числу
соответствует упорядоченная пара чисел
(а;в),
а значит точка М(а;в)
или вектор
ОМ(а;в).
Г
еометрически
комплексные числа, есть точка координатной
плоскости или радиус-вектор т. М(а;в),
где «а»-
действительная часть комплексного
числа, а «в»
- коэффициент мнимой части комплексного
числа.
Пример 9.
Можно сделать вывод, если a=0, то z=вi – чисто мнимые числа расположены на оси (OY) – которую иногда называют мнимой осью, а все действительные числа (если в=0), находятся на оси (OX) – её называют действительной осью.
Выполнение действий над комплексными числами в геометрической форме ограничены: сложение, вычитание, умножение на число и скалярное и векторное произведение. Эти действия выполняются как действия над векторами, которые мы рассматривали в теме векторы.
Геометрическая форма нам необходима для перехода от алгебраической формы и тригонометрической.
3.3. Тригонометрическая форма
Р
ассмотрим
на рис. 2 треугольник ONM
– прямоугольный. Величина угла MON
равна φ(фи),
=r=
φ – аргумент комплексного числа, r- модуль комплексного числа
Формулы,
выражающие зависимость между a;в
и r;φ.
Пусть нам дано комплексное число , умножим и разделим это число на r(r>0) от этого значение комплексного числа не изменится.
получим
тригонометрическую форму комплексного
числа, где
,
вычисляется по
формулам
П
ример
10. Получить
тригонометрическую форму комплексного
числа
Изображаем графически это число
Пример
11.
В тригонометрической форме легче выполнить действия умножение, деление, возведение степень и извлечение корня. Для этого используются формулы:
При умножении
: 
При делении :
При возведении в степень:
формула Муавра
(А. Муавр (1667-1754) англ. математик)
При извлечении
корня n-ой
степени:
,
где k=0;1;2;…n-1
Пример 12.
Преобразуем число
-1
в комплексную форму:
;
;
в=0
-1=1(cos+i sin)
,
где
k=0,1,2,3,4
если k=0,
то
если k=1,
то
если k=2,
то
если k=3,
то
если k=4,
то
Примечание:
имеет
ровно n
значений, которые получаются при
значениях k=0;1;2;…n-1.
Пример 13.
Найти все корни уравнения х3-8=0.
Уравнение nй степени имеет ровно n корней, значит это уравнение имеет три корня.
х3=8
,
представим число 8
в тригонометрической форме.
8=8+0i;
а=8;
в=0;
;
=0;
8=8(cos0+i
sin0)
если k=0, то х1=2(cos0+i sin0)=2(1+i0)=2+0i
если k=1,
то
если k=2,
то
Ответ:
х1=2;
х2,3=-1i