Тема: Комплексные числа.

План:

Развитие понятия числа
Комплексные числа
Формы комплексного числа
1. Алгебраическая
2. Геометрическая
3. Тригонометрическая
4. Показательная
5. Перевод комплексного числа из одной формы в другую
Решение уравнений в множестве комплексных чисел

1. Развитие понятия числа

Определение: Если результатом действия над числами некоторого множества является число этого же множества, то говорят, что это действие выполняется в этом множестве.

Пример 1. Сложение и умножение выполняются в множестве натуральных чисел, т.к. результаты этих действий есть натуральные числа.

Пример 2. Вычитание в множестве натуральных чисел не выполняются, т.к. при вычитании большего числа из меньшего получается отрицательное число, которое не является натуральным.

А налогично можно рассмотреть примеры результатов действий деления, извлечения корня, которые не входят(соответственно) в множество целых чисел и действительных чисел.

Результаты действий вычитания, деления, извлечения корня расширяют понятия числа и приводят к появлению новых числовых множеств. Это развитие наглядно иллюстрируются с помощью кругов Эйлера.

N – множество натуральных чисел

(сложение и умножение)

Z – множество целых чисел

(сложение, умножение и вычитание)

Q – множество рациональных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление)

Рациональные числа выражаются в виде бесконечной десятичной дроби периодической дроби.

R – множество действительных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление, возведение в целую степень и извлечение корня из неотрицательного числа)

Действительные числа выражаются бесконечной десятичной непериодической дробью.

Все действительные числа расположены на оси (OX), которую называют действительной осью, т.к. между действительными числами и точкамиоси (OX) установлено взаимно-однозначное соответствие. Каждому действительному числу соответствует единственная точка оси (OX) и каждой точке оси (OX) соответствует одно и только одно действительное число.

Но в множестве действительных чисел не выполняется действие извлечение корня из отрицательного числа, не имеет действительного решения и уравнение x²+1=0. Для того , чтобы все это стало возможным введем новую единицу i (мнимая единица).

i²=-1

пределение. Мнимой единицей (i) называется такое число, квадрат которого равен –1,

В этом случае любое отрицательное число можно представить: и тогда - есть мнимое число.

Решим уравнение x²+1=0

x²=-1

x²=i²

Ответ:

С введением мнимой единицы появились мнимые числа вида и стало возможным извлекать корень четной степени из отрицательного числа.

Если к множеству действительных чисел (а) добавить множество всех мнимых чисел (вi), то получим новое множество -комплексных чисел. (К), в котором выполняются все арифметические действия; сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в любую степень и извлечение корня.

2. Комплексные числа

Определение. Числа, вида , где «а» и «в» действительные числа, i-мнимая единица, называются комплексными числами.

а – действительная часть комплексного числа,

вi – мнимая часть комплексного числа,

в – коэффициент мнимой части,

i – мнимая единица.

Определение Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны действительные части комплексного числа и мнимые части комплексного числа, т. е. если