Исследование функции с помощью производной.

Монотонность функции.

y=f(x) называется возрастающей (вверх), если большему значению аргумента соответствующей большее значение функции x₂>x₁ y₂>y₁. x₂-x₁= x>0 y₂-y₁= y>0, значит >0. в Точке М₁ и М₂ касательные образуют d₁ и d₂ – острые с осью (ох), следовательно tg d>0 K_кас>0 y^/>0.

Значит функция у=f(x) (вверх) на некотором промежутке тогда и только тогда, когда производная этой функции на этом промежутке значений х положительна. y=f(x) y^/>0 на [a;в].

y=f(x) называется убывающей (вниз), если большему значению аргумента соответствующей большее значение функции x₂>x₁ y₂<y₁. x₂-x₁= x>0 y₂-y₁= y<0, значит <0. в Точке М₁ и N₂ касательные образуют 90⁰<d<180⁰, значит tg d<0 y^/<0.

Аналогично делаем вывод и для убывающей функции. y=f(x) y^/<0 на [a;в].

Экстремумы функции.

а) б)

в) г)

Точка х=х₀ называется точкой максимума непрерывной функции у=f(x), а значение f(x₀) называется максимумом этой функции или соответствует некоторая окрестность точки х₀ [то есть промежуток (x₀-б;х₀+б)], такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше, чем ее значение в самой точке х₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀).

Аналогично т. х₀ – точка минимума, а f(x₀) – минимум функции, если f(x₀+ x)>f(x₀) при | x |<б.

Теорема Ферма.

Если функция у=f(x) непрерывна в промежутке (а; в), в некоторой точке х₀ этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке (а) и в) рис.), то ее производная в этой точке равна нулю.

На рисунках а) в) у^/_(х0)=0, значит касательная, проведенная к графику этой функции в точке М₀ будет параллельная оси (ох). На рисунке а) слева от точки М₀ у=f(x) (вверх), с права вниз. На рисунке в). Слева от точки М₀ у=f(x) (вниз), а справа вверх. Аналогично 1) и 2) ведет себя функция и на рисунках соответственно б) и г), с одной лишь разницей, чем в точках х₀ функция не дифференцируема, так как касательная в точке М₀ перпендикулярна оси ох.

Из этих рассуждений можно составить первое правило нахождения экстремума функции и исследовании ее на монотонность.

Правило исследования функции у=f(x) с помощью первой производной.

Пусть дана функция у=f(x).

1. Найдем у^/.

2. Найдем корни у^/, или точки, в которых у^/ - не существует. Эти точки называются критическими точками первого рода.

3. Р асположим критические точки на числовой прямой (в порядке возрастания) и проверим знак производной в каждом полученном промежутке значений х.

В точке x₁, x₃ y^/=0, а в точках x₂, x₄, x_6. – не , в точках x₁, x₃ касательная параллельна оси ОХ, в остальных критических точках параллельная оси ОХ (рис. 2) и (рис. б)). В точке х₃ смены знака производной не произошло, значит в этой точке экстремума нет, но график делает «горизонтальный» перегиб, аналогично в точке х₆ только «вертикальный» перегиб.

Если сделать схематичный рисунок графика, то он будет выглядеть примерно так:

В точках M₂, M₄, M₅ – иногда называют экстремумы «пиками» минимум – пика, максимум пика. А перегибы в токах М₃ и М₆ – перегиб – «колено».

Когда касательная в токах М₃ и М₆ параллельна оси ОХ или оси ОУ.

Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

В прикладных задачах чаще требуется найти не экстремум изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Возможны следующие случаи:

а) На [a₁;в₁] у=f(x) монотонна. Значит она принимает наибольшее и наименьшее значения на концах интервала.

б) На [a₂;в₂] y=f(x) достигает max или min. Следовательно экстремум может стать наибольшим или наименьшим значением. Следовательно надо выбирать из значений f(a₂); f(x₁); f(в₂). Наибольшее и наименьшее.

в) На [a₃;в₃] у=f(x) имеет несколько экстремумов. Необходимо найти эти значения функции. А также значения на концах интервала и выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Из всего сказанного можно получить правило. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на [a;в] Необходимо:

1. Найти у^/

2. Найти у^/=0 или у^/ - не существует, то есть критические точки первого рода

3. Выбрать среди них только те, которые входят в [a;в]

4. Найти значения функции в выбранных критических токах и на концах интервала

5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения

6. Записать ответ.

Исследования функции с помощью второй производной.

Функция у=f(x) называется выпуклой в точке М₁, если все точки, близкие к точке М₁, находятся ниже касательной, проведенной в точке М₁. Если функция выпукла в каждой точке (а;в), то говорят, что функция выпукла в (а;в)

Существует достаточный признак выпуклости графика функции:

y=f(x) не [a;в], если у^//<0 во всех х [a;в].

Функция у=f(x) называется вогнутой, точке М₂, если все точки, близкие к точке М₂, находятся выше касательной, проведенной в точке М₂. Аналогично определение вогнутости на (а;в)

Существует достаточный признак вогнутости графика функции.

y=f(x) на [a;в), если y^//>0 во х [a;в].

Отсюда возникает необходимый признак точки перегиба (точка, отделяющая выпуклую и вогнутую части графика).

В точке М₁ и М₂

1) y^//(x₁)=y^//(x₂)=0

2) y^//(x₁-б)<0 а y^//(x₁+б)>0.

3) y^//(x₂-б)>0 а y^//(x₂+б)<0, (то есть при переходе через точки х₁ и х₂, знак у^// меняется).

Смена знака у^// производной может происходить и в точках, в которых у^// не существует.

y=f(x), y^/(x₁) – не существует, значит и у^//(х₁) – не существует, но y^//(x₁-б)<0 а y^//(x₁+б)>0.

Правило исследования функции с помощью второй производной.

Пусть дана функция y=f(x).

1. Найдем y^/ и у^//.

2. Найдем точки, в которых у^//=0 или у^// - не , x₁, x₂, x₃… - критические точки второго рода.

3. Расположим критические точки второго рода на числовой прямой (в порядке возрастания) и проверим знак у^// в каждом полученном интервале. Могут быть следующие случаи:

у₁=f(x₁), y₃=f(x₃), y₄=f(x₄), y₅=f(x₅) – значение функции у=f(x) в точках перегиба.

Асимптоты графика функции.

Определение:

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая линия, к которой неограниченно приближается уходящая в бесконечность ветвь графика (хотя бы пересекая эту прямую бесчисленное множество раз). Уравнение асимптоты. у=kx+в, если она наклонная, у=в, если она параллельна оси ОХ, х=а, если она параллельна оси ОУ.

Пусть нам дана функция f(x), тогда для определений k – углового коэффициента

, а для

Если k=0, то в= f(x), если в – существует, то у=в – горизонтальная асимптота.

Если f(x)= , то х=а – вертикальная асимптота.

Исследовать функцию и построить ее график.

у=

1. О.О. x²-4 0 x 2

2. y ] [ - множество значений функции.

3. Четность можно определить, так как область определения функции симметрична относительно нуля.

f(-x)= - функция нечетная.

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

4. Корни

5. Промежутки законопостоянства функции.

5. Исследуем с помощью предела Асимптоты:

   0. lim ; lim

   1. lim ; lim , x-2 – вертикальная асимптота.

Отыскиваем наклонную асимптоту в виде у=kx+в.

k=lim в=lim

= y=1 x+0; y=x – наклонная асимптота.

5. Исследуем с помощью первой производной:

у^/= .

0. у^/=0 у^/ - не существует.

x_1,2=0, x_3,4= , x_5,6= - точки разрыва функции и в этих точках функция недифференцируема.

0. (в точках +2, -2, и х=0 не происходит смены знака у^/, так как х² и (х²-4)² – всегда положительны).

1. y_max=f(-2 )= , y_{перегиб «колено»}=f(0)=

5. Исследуем с помощью второй производной.

   0. у^//= ( )^/ = =

= .

8.3

у_{перегиб.}=f(0)=0. В точке х=+2 и х=-2 – перегиба нет, так как в этих точках у=f(x) не существует.

5. Строим график функции по проведенному исследованию.