8. Конструктивные задачи графического моделирования

Конструктивными называют задачи, связанные с конструированием геометрических фигур, их взаимного положения, а так же взаимного положения их элементов по заданным условиям. Эти задачи являются, обычно, разновидностью комплексных, включая в себя, как правило, несколько позиционных и метрических задач. Решение конструктивных задач связано с реализацией на чертеже заданных геометрических условий.

При описании геометрических условий и решений конструктивных задач геометрические фигуры (линии и поверхности) удобно моделировать, как множество точек или множество прямых, отвечающих заданным условиям.

8.1. Примеры конструктивных задач со множеством точек (вмт)

Пример 1 (рис. 8.1). Построить на заданной плоскости всё множество точек (ВМТ), равноудалённых от заданной на ней точки O.

Решение.

Это окружность m на заданной плоскости с центром в точке О.

Рис. 8.1

Пример 2 (рис. 8.2). Построить ВМТ, равноудалённых от заданной пространственной точки О.

Решение.

Это сфера с центром в т. О.

Рис. 8.2

Пример 3 (рис 8.3). Построить ВМТ, равноудалённых от заданной прямой i .

Решение.

Это цилиндр вращения с осью i .

Рис. 8.3

Пример 4 (рис. 8.4). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных точек А и В.

Решение.

Это плоскость , проходящая перпендикулярно отрезку АВ через его середину (точку М).

Рис. 8.4

Пример 5 (рис. 8.5). Построить прямую a, все точки которой были бы равноудалены от заданных точек А и В.

Решение.

Прямая а расположена в плоскости предыдущего примера. Она перпендикулярна отрезку АВ.

Рис. 8.5

Пример 6 (рис. 8.6). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных пересекающихся плоскостей: и .

Решение.

Это две биссекторные плоскости: и .

Рис. 8.6

8.2. Примеры конструктивных задач со множеством прямых линий (вмп)

Пример 1 (рис.8.7). Построить всё множество прямых (ВМП), проходящих через заданную точку A перпендикулярно заданной прямой b .

Решение.

Это плоскость (h f), проходящая через заданную точку А перпендикулярно прямой b .

Рис. 8.7

Пример 2 (рис. 8.8). Даны скрещивающиеся прямые линии: а и b. Построить ВМП, пересекающих прямую a и параллельных прямой b.

Решение.

Это плоскость (c a), проходящая через прямую a параллельно прямой b .

Рис. 8.8

Пример 3 (рис. 8.9). Построить ВМП, равноудалённых от заданной прямой а.

Решение.

Это цилиндр вращения , у которого заданная прямая а - ось вращения.

Рис. 8.9

Пример 4 (рис. 8.10). Построить ВМП, проходящих через заданную т. А и пересекающих заданную плоскость под одинаковым углом.

Решение.

Это конус вращения , у которого ось i расположена перпендикулярно заданной плоскости .

Рис. 8.10

Пример 5 (рис. 8.11). Построить ВМП, равнонаклонённых к пересекающимся плоскостям и .

Решение.

Это биссекторные и перпендикулярные им плоскости и .

Рис. 8.11

Пример 6. Определить геометрическую фигуру, представляющую собой ВМП, скрещивающихся с заданной прямой i под одинаковым углом и равноотстоящих от неё.

Решение.

Это однополостный гиперболоид вращения с осью вращения i .

8.3. Примеры решения конструктивных задач

Пример 1 (рис. 8.12). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных параллельных прямых а и b.

Решение.

Это плоскость , проходящая через середину их общего перпендикуляра и перпендикулярно ему.

Рис. 8.12

Пример 2 (рис. 8.13). В заданной грани АВС построить ВМТ, равноудалённых от заданных точек М и К, расположенных вне плоскости (АВС).

Решение.

Это прямая m – результат пересечения плоскости (АВС) плоскостью , проходящей через середину отрезка МК перпендикулярно ему.

Рис. 8.13

Пример 3 (рис. 8.14). В плоскости (А, b) через точку А провести прямую l под углом к плоскости проекций .

Решение.

Всё множество прямых l, которые проходят через точку А под углом к плоскости , есть конус вращения , у которого A i , угол ( l ) = . Искомая прямая – одна из двух образующих l , являющихся результатом пересечения этого конуса с плоскостью (A, b).

Дано:

Решение:

Рис. 8.14

Пример 4 (рис. 8.15). Построить ВМП, проходящих через заданную точку М и касательных к заданной сфере .

Решение.

Это конус с вершиной в точке М и касательный к сфере по линии m - окружности. Оси конуса и сферы совпадают: i = i .

Рис. 8.15

Пример 5 (рис. 8.16). На прямой а определить точки, равноудалённые от заданной точки А на заданном расстоянии r .

Решение.

Это точки пересечения с прямой а окружности m радиусом r и с центром в точке А, лежащей в плоскости (А, а).

Рис. 8.16