7. Решение задач с преобразованием чертежа

Любые задачи (позиционные, метрические, комплексные) значительно упрощаются, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций, т.е. они или параллельны, или перпендикулярны им. Такое положение фигур позволяет сразу получить на чертеже требуемое решение. Его называют решающим положением.

Например, истинная величина отрезка определится сразу по чертежу, если отрезок займёт положение прямой уровня.

Чтобы получить решающее положение фигуры, чертёж преобразовывают, строя новые (дополнительные) проекции фигуры на основе имеющихся проекций.

Применяют следующие способы преобразования чертежа.

1. Вращение заданной фигуры вокруг проецирующей оси (рис. 7.1).

Рис. 7.1

2. Вращение фигуры вокруг прямой уровня (рис. 7.2).

Рис. 7.2

3. Введение новых, дополнительных плоскостей проекций, ортогональных к уже используемым в чертеже плоскостям проекций и относительно которых рассматриваемая геометрическая фигура займёт решающее положение.

7.1. Решающие положения прямых линий и плоскостей

на чертеже

Решающие положения для прямых линий

Вариант 1 (рис. 7.3). Преобразовать чертёж так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Это положение прямой используется для определения по чертежу истинной величины её отрезка или угла её наклона к плоскости проекций.

Рис. 7.3

Вариант 2. Преобразовать чертёж так, чтобы прямая линия общего положения стала проецирующей прямой. Это положение прямой линии используется для определения следующих мерных величин геометрических фигур.

Расстояние между прямой и точкой (рис. 7.4).

Рис. 7.4

2. Расстояние между параллельными прямыми (рис. 7.5).

Рис. 7.5

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми линиями (рис. 7.6).

Рис. 7.6

4. Величина гранных углов (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Решающие положения для плоскостей

Вариант 1. Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей. Это положение заданной плоскости позволяет определять следующие мерные величины геометрических фигур.

Расстояние от точки до плоскости (рис. 7.8)

Рис. 7.8

Расстояние между параллельными плоскостью и прямой (рис. 7.9).

Рис. 7.9

Расстояние между параллельными плоскостями (рис. 7.10).

Рис. 7.10

Величина гранных углов (рис. 7.11).

Рис. 7.11

Углы наклона заданной плоскости к плоскостям проекций (рис. 7.12).

Рис. 7.12

Вариант 2 (рис. 7.13). Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня. Это положение плоскости позволяет определять истинную величину плоских фигур и их площадь.

Рис. 7.13

7.2. Преобразование чертежа методом введения дополнительных ортогональных плоскостей проекций

Сущность данного способа состоит в том, что заданные геометрические фигуры сохраняют своё положение в пространстве относительно принятой (основной) системы ортогональных плоскостей проекций. Но при этом вводятся новые (дополнительные) ортогональные плоскости проекций так, чтобы в новой паре взаимно перпендикулярных плоскостей проекций заданные фигуры располагались бы уже частным образом (наиболее удобным для решения поставленной задачи): геометрические фигуры занимали бы решающее положение.

Пример 1 (рис. 7.14). Задан чертёж отрезка прямой общего положения АВ.

Рис. 7.14

Требуется:

1) определить истинную длину этого отрезка и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций (угол );

2) определить расстояние от заданной точки М до прямой АВ.

Решение первой задачи

Прямое решение первой задачи методом прямоугольного треугольника ранее нами уже было рассмотрено. Теперь решим эту задачу путём введения дополнительной плоскости проекций .

Решающим положением для отрезка АВ будет положение, когда он станет отрезком прямой уровня. Поэтому, дополнительную плоскость проекций расположим ортогонально к плоскости и параллельно отрезку АВ. Тогда проекция А В будет равна истинной величине самого отрезка АВ.

На этой же дополнительной плоскости проекций будет изображён и угол - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций .

При построении нового изображения отрезка на плоскости координатные расстояния по оси z концов отрезка до плоскости переносятся с изображения на плоскости .

Решение второй задачи

Решающим положением заданных элементов будет такое, когда отрезок АВ станет проецирующим относительно дополнительной плоскости и относительно которой перпендикуляр из точки М на прямую отрезка АВ (отрезок МК) займёт положение прямой уровня, т.е. изобразится в истинную величину. В общем случае, для этого сначала вводится первая дополнительная плоскость проекций , получая положение отрезка: AB || (это решение первой задачи примера). Затем вводится вторая дополнительная плоскость проекций , получая положение: AB , МК || .

Пример 2 (рис 7.15). Задан чертёж треугольной грани АВС общего положения и точка М вне грани.

Требуется:

1) построить перпендикуляр МК к плоскости (АВС) и определить его величину;

2) определить площадь треугольника АВС.

Решение первой задачи

Решающим положением будет такое, когда плоскость (АВС) станет перпендикулярной относительно дополнительной плоскости проекций и ортогональной , например, к основной плоскости . В этом случае все фронтали, лежащие в заданной плоскости , станут перпендикулярными к дополнительной плоскости проекций .

Рис. 7.15

Для построения на чертеже дополнительной плоскости используем одну из этих фронталей, например, проходящую через т. А . Проекции точек А, В, С и М на плоскость строим, используя их координатные расстояния до плоскости проекций , которые определены на основной плоскости . Убеждаемся, что изображение плоскости (АВС) вырождается в прямую В А С . Перпендикуляр МК, опущенный на плоскость (АВС), является прямой уровня относительно дополнительной плоскости . Следовательно, проекция М К - истинная величина перпендикуляра МК.

Решение второй задачи

Решающим положением для неё будет, когда плоскость (ABC) станет параллельной новой плоскости проекций. Для этого вначале чертёж нужно преобразовать так, чтобы плоскость заняла бы положение проецирующей относительно новой плоскости проекций . Это было сделано при решении первой задачи.

Далее, проводим новую плоскость проекций: ; || . Расстояния всех точек на плоскости проекций до плоскости берём с плоскости проекций . При этом проекция А В С является истинной величиной треугольной грани АВС и определяет её площадь.