Складні проценти

Нарахування складних відсотків здійснюється за такою формулою:

,

де S — нарощена сума платежу (боргу),

P — початкова сума боргу,

i — складна відсоткова ставка,

n — число періодів нарахування відсотків.

Величину (1+і)ⁿ називають множником нарощення. Значення множника нарощення для цілих чисел n і і наведено в додатку 1.

Якщо передбачаються зміни у часі, але застосовуються фіксовані (змінні) ставки відсотків, то формула нарощення за складними відсотками матиме такий вигляд:

S = P (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²… (1 + i_k)^nk,

де i₁, i₂,..., i_k — послідовні значення ставок відсотків;

n₁, n₂,...,n_k — періоди, протягом яких здійснюється нарахування за відповідними ставками.

Загальний випадок, коли необхідно визначити число років, протягом яких початкова сума збільшиться в N разів:

а) для простих відсотків (1 + ni_n) = N ;

б) для складних відсотків (1 + i_c)ⁿ = N .

N = 2;

а) подвоєння за простими відсотками:

б) подвоєння за складними відсотками:

.

У випадках, коли n не є цілим числом, тобто складається з цілої й дробової частин, нарощення визначається двома способами: за формулою нарощення складних відсотків і на основі змішаного методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються склад­ні відсотки, а за дробове — прості:

S = P (1 + i)^a(1 + bi),

де n = a + b, a — ціле число років, b — дробова частка року.

При m разів нарахування відсотків на рік нарощену суму визначають за формулою:

S = P (1 + j/m)^mn.

Ефективна ставка відсотків визначається за такою формулою:

I = (1 + j/m)^m – 1.

Якщо необхідно визначити на основі ефективної номінальну ставку, то можна використати таку формулу:

j = m ((1 + i)^1/m – 1).

Розрізняють два методи дисконтування — математичне дисконтування і банківський облік.

Математичне дисконтування застосовують у тих випадках, коли за заданими S, n та i необхідно знайти P:

,

де — множник дисконтування.

Величину P, якщо вона визначена за S, називають дисконтованою величиною S, або сучасною величиною платежу S, або теперішньою вартістю.

Величину V ⁿ називають обліковим, або дисконтованим, множником.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік, формула матиме такий вигляд:

.

Дисконтний множник дорівнює

.

Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою:

P = S (1 – d_c)ⁿ,

де d_c — складна облікова ставка;

S — сума майбутніх платежів, на яку нараховується відсоткова ставка; (1 – d_c)ⁿ — множник дисконтування.

Дисконт у такому разі:

D_d = S – S (1 – d_c)ⁿ = S (1 – (1 – d_c)ⁿ).

При дисконтуванні m разів на рік використовують номінальну облікову ставку f. У кожному періоді дисконтування здійснюється за ставкою f/m:

P = S (1 – f/m)^mn,

де mn — загальна кількість періодів дисконтування.

Під ефективною обліковою ставкою розуміють складну річну облікову ставку, еквівалентну номінальній при заданому значенні числа дисконтування на рік:

Ефективна облікова ставка менша за номінальну.

Нарощення за складною обліковою ставкою:

;

Знаходження відсоткових ставок

1. Для простої відсоткової ставки:

2. При нарощенні за складною річною ставкою:

3. При нарощенні за номінальною ставкою відсотків m разів на рік:

4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:

5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:

6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою m разів на рік:

Визначення строку позички

1. За простою ставкою відсотків:

2. За складною ставкою відсотків:

3. При нарощенні за номінальною ставкою відсотків j/m разів на рік:

4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:

5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:

6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою m разів на рік:

Врахування інфляції здійснюється в розрахунках наступним чином:

Основним показником, що характеризує динаміку інфляційних процесів, є індекс купівельної спроможності грошей. Тоді

,

де — реальна нарощена сума, S — нарощена сума за n років.

,

де  — темп інфляції.

.

де  — темп інфляції, S — нарощена сума за n років,

де — реальна нарощена сума з урахуванням темпу інфляції:

Поняття еквівалентності відсоткових ставок

Якщо різнорідні відсоткові ставки в конкретних умовах угоди призводять до одного й того самого фінансового результату, то в даному разі вони є еквівалентними.

Принцип еквівалентності ставок використовується при порівнянні ставок, які застосовуються в різноманітних угодах, визначенні ефективності фінансово-кредитних операцій, беззбитковій заміні одного виду відсоткових ставок іншими.

Система еквівалентних ставок складається з таких елементів:

• еквівалентність простих ставок;

• еквівалентність простих і складних ставок;

• еквівалентність складних ставок;

• еквівалентність дискретних і безперервних ставок.

Виведення формул еквівалентності ставок у всіх випадках базується на рівності взятих попарно відповідних множників нарощення.

Розглянемо умови, за яких нарощення відсотків за простою ставкою відсотків (і) призведе до таких самих результатів, що і нарахування цих грошей за простою обліковою ставкою (d) при зафіксованих однакових початковій величині (Р) і строках (n). Очевидно, має виконуватися умова, за якої нарощені суми для цих відсоткових ставок будуть однакові, тобто S₁ = S₂, де S₁ — це нарощена сума, при визначенні якої використовувалась проста ставка відсотків (i), а S₂ — це нарощена сума, при визначенні якої використовувалась проста облікова ставка (d). Прирівняємо множ­ники нарощення за цими ставками (1 + in) = (1 – nd)^–1. Формула простої ставки відсотків, що еквівалентна простій обліковій ставці, буде такою:

Формула простої облікової ставки, що еквівалентна простій ставці відсотків:

.

При операціях з векселями використовують просту облікову ставку, але вона не показує ефективність і прибутковість цієї фінансової операції. Для того щоб визначити, який отримано відносний дохід, необхідно знайти ставку відсотків, що, як правило, використовується як показник прибутковості і є еквівалентною простій обліковій ставці.

Приклад 1. Необхідно визначити облікову ставку, яка еквівалентна простій ставці відсотків і дорівнює 10 %.

Розв’язання: , або 9,09 %.

Таким чином, операція, в якій фігурує облікова ставка 9,09 %, приносить для річного періоду такий самий фінансовий результат, що й проста річна ставка відсотків, яка дорівнює 10 % річних. Ця ситуація може виникнути тоді, коли банк за нормою позичкового відсотка хоче розрахувати еквівалентну просту облі­кову ставку для обліку векселів.

Приклад 2. Банком був придбаний вексель за 60 днів до його погашення. Облікова ставка при покупці векселя становила 10 %. Необхідно визначити ефективність купівлі векселя.

, або 10,2 %.

Ця операція принесла банку 10,2 % річного доходу.

Еквівалентність простих ставок визначається за двох умов: коли бази року приймаються однаковими і коли використовуються різні бази року (y). Для однакових баз року застосовуються такі формули:

Якщо y = 360 днів, то ; .

Якщо y = 365 днів, то ; .

Якщо бази року для ставок будуть різними, тобто база року для ставки відсотків — 365 днів, а для облікової ставки — 360 днів (це особливість банківського обліку), тоді використовують такі формули:

; .

Приклад 3. Необхідно визначити просту облікову ставку таким чином, щоб операція обліку принесла 20 % доходу на рік, якщо строк позички 60 днів, а база для нарахування простих ставок відсотків 365 днів, а для простих облікових ставок 360 днів: , тобто d = 19 %.

Формули еквівалентності простих ставок відсотків та облікових ставок свідчать про те, що за однакових умов позички проста облікова ставка буде завжди менше за просту ставку відсотків, якщо ці ставки еквівалентні. Причому різниця між цими ставками залежить від строку позички: чим більший строк фінансової угоди, тим різниця між простою ставкою відсотків (і) та простою обліковою ставкою (d) збільшується, і навпаки — для невеликих значень строку фінансової угоди різниця між (і) і (d) менш відчутна.

Слід пам’ятати, що для порівняння дохідності найрізноманітніших фінансових операцій необхідно використовувати річну ставку відсотків, яка показує річну дохідність будь-якої короткострокової фінансової операції (частку річного прибутку), тоді як проста облікова ставка слугує лише математичним засобом для розрахунку дисконту. Якщо це необхідно зробити в операціях обліку, обчислюють еквівалентну річну просту ставку відсотків.

Розглянемо формули еквівалентності для простих і складних ставок відсотків. Нарощення початкової суми (Р) за цими ставками проводиться за формулами S_п = P(1 + i_пn) для простої ставки та S_с = P (1 + i_с)ⁿ для складної ставки.

Якщо i_п та i_с еквівалентні, то повинна виконуватись умова S_п = S_с.

Звідси — рівність множників нарощення (1 + i_пn) = (1 + i_с)ⁿ.

Зв’язок між еквівалентними ставками відсотків визначається за такими формулами:

Ці формули дозволяють при зміні виду ставки зберегти кінцеві фінансові результати, скоригувавши ставку відсотків за величиною.

Приклад 4. Фінансові відносини сторін не змінюються і в договорі обумовлена проста ставка відсотків 10 %. Визначити річну ставку склад­них відсотків. Строк договору 2 роки.

Розв’язання: , або 9,5 %.

Заміна в договорі ставки простих відсотків у розмірі 10 % на складну ставку відсотків у розмірі 9,5 % не змінить фінансових відносин сторін, що беруть участь у договорі.

Якщо еквівалентна простій ставці складна ставка нараховується m разів на рік, тоді

Еквівалентність простої облікової ставки й ставки складних відсотків матиме вигляд:

Приклад 5. Строк оплати за векселем настає через 60 днів. Вексель обліковується за простою обліковою ставкою 10 % річних (часова база 360 днів). Визначити ефективність даної угоди. За показник ефективності взяти річну складну ставку відсотків.

Розв’язання: , або 10,6 %.

Нехай складні відсотки нараховуються m разів на рік, тоді при рівних часових базах нарахування відсотків таке:

Еквівалентність складних відсоткових і складної облікової ставки:

Середні відсоткові ставки

Якщо відсоткові ставки змінюються з часом, то еквівалентна їм ставка являє собою середню ставку, що приносить за певний період такий самий дохід. Дану середню знай­демо на основі рівності відповідних множників нарощення. Нехай за періоди n₁, n₂, ..., n_k, нараховуються прості відсотки за ставками i₁, i₂, ..., i_k:

де

отримаємо еквівалентну ставку:

Знайдена характеристика являє собою середню зважену ариф­метичну величину з вагами, що відповідають тривалості окремих інтервалів. Ставка i₀ дає такий самий дохід за час N, що й сукупність ставок, які змінюються за відповідні періоди. Аналогічно для простих облікових ставок d₁, d₂, .., d_k знаходимо їх середню d₀:

Приклад 6. У контракті передбачається нарахування простих відсотків у таких розмірах:

Періоди	Відсоткові ставки	nt (у роках)	nt it
1	0,2	1,5	0,3
2	0,3	1,0	0,3
3	0,4	2,0	0,8
Усього		4,5	1,4

Необхідно знайти еквівалентну цим умовам ставку за умови, що Р = 500.

; S = 500 (1 + 4,5 · 0,3111) = 1199,9 грн.

Якщо нарахування відсотків виконується на основі послідовних фіксованих ставок складних відсотків i₁, i₂, ..., i_k, які нараховуються в інтервалах, що дорівнюють n₁, n₂, ..., n_k одиниць часу, то

.

Отриманий вираз являє собою зважену середню геометричну без одиниці, в якої вагами є тривалість періодів нарахування.

Приклад 7. За контрактом була видана позичка в розмірі 1000 грн. Контракт було укладено на 4 роки. У перші два роки передбачалося нарахування відсотків за ставкою 10 % (складні річні відсотки), у наступні два роки — за ставкою 20 %. За згодою сторін було вирішено замінити всі ставки відсотків однією, не змінивши при цьому фінансових відносин сторін.

Розв’язання: , або 14,9 %.

Якщо в угоді були б використані прості ставки відсотків, тоді еквівалентна їм середня проста ставка відсотків дорівнювала б:

, або 15 %.

Заміна у фінансовій угоді ставок складних відсотків 10 % і 20 % за відповідні періоди часу на ставку 14,9 % або заміна ставок простих відсотків 10 % і 20 % на ставку 15 % не змінює фінансових відносин сторін. Учасникам фінансової угоди байдуже, які з цих ставок використовувати — вони призводять до однієї і тієї ж нарощеної суми.

3. Зміна умов контракту. Фінансова еквівалентність зобов’язань

На практиці нерідко зустрічаються випадки, коли необхідно замінити одне фінансове зобов’язання іншим (на­приклад, з віддаленішим строком платежу), об’єднати кілька зобов’язань в одне (консолідувати платежі) тощо. Принцип, виходячи з якого, мають змінювати умови контрактів, називається фінансовою еквівалентністю зобов’язань. Принцип фінансової екві­валентності полягає в тому, що за будь-якої заміни умов контрактів фінансові зобов’язання до і після вказаних змін залишаються однаковими, тобто зберігається незбитковість для обох сторін.

Варіанти заміни одного фінансового зобов’язання іншим:

1) переноситься дата погашення боргу (відстрочка платежу або дострокове погашення);

2) один платіж замінюється кількома з різними термінами сплати;

3) кілька платежів замінюються одним, при цьому переносять кінцеву дату погашення.

Еквівалентними вважаються такі платежі, які за умови зведення за заданою відсотковою ставкою до одного моменту часу є рівними. Приведення різночасових виплачуваних сум грошей здій­снюється шляхом дисконтування (приведення до попередніх дат) або, навпаки, нарощення, якщо ця дата належить до майбутнього.

Принцип фінансової еквівалентності лежить в основі формул нарощення і дисконтування, який пов’язує величини P i S. На цьому принципі базується порівняння різночасових платежів. Не­хай є платежі S₁ i S₂ зі строками n₁ i n₂, початок відрахунку строку припадає на один день. Ці платежі еквівалентні, якщо їх сучасні величини, розраховані за однією й тією самою ставкою, рівні.

Приклад 8. Мають місце два зобов’язання. Умови першого: S₁ = 400 тис. грн., n₁ = 4 місяця. Умови другого: S₂ = 420 тис. грн., n₂ = 9 місяців. Чи можна вважати їх рівноцінними? Якщо дисконтувати ці платежі на початок строку за ставкою простих відсотків і = 0,1, отримаємо:

тис. грн.;

тис. грн.

P₁ < P₂, отже, ці зобов’язання нееквівалентні.

Основний метод при вирішенні фінансової еквівалентності зобов’язань полягає в розробці рівняння еквівалентності, в якому сума платежів, що замінюються, приведені до якого-небудь одного моменту, прирівняні до суми платежів за новим зобов’язан­ням, приведеним до тієї самої дати.

Як правило, розглядається дві постановки задачі щодо зміни умов контрактів:

1) консолідування (об’єднання) заборгованості;

2) збалансування змін строків платежів.

Консолідуванням заборгованості називається об’єднання кіль­кох боргових зобов’язань в одне, а розмір об’єднаного платежу має назву консолідованого платежу.

Нехай платежі S₁, S₂, ...., S_n зі строками відповідно n₁, n₂, ..., n_m об’єднуються в один у сумі S₀ i строком n₀. Сума консолідованих платежів за умови, що n₀ > n₁, n₂, ..., n_m, для простої ставки відсот­ків складає де t_j — часовий інтервал між строками n₀ i n_j, t_j = n₀ – n_j.

Для простої облікової ставки:

для складної ставки відсотків:

для складної облікової ставки:

Приклад 9. Два платежі: S₁ = 100 тис. грн. і S₂ = 50 тис. грн. зі строками 150 і 180 днів (що відраховуються від однієї бази) замінюються одним — зі строком 200 днів. Якщо сторони домовились на зміну при використанні простої відсоткової ставки, що дорівнює 6 % річних, то

тис. грн.

У загальному випадку величину S₀ знаходимо як суму нарощених або дисконтованих платежів S_j:

де S_j — сума об’єднаних платежів зі строками n_j, n_j < n₀; S_k — сума платежів, які об’єднуються зі строками n_k, n_k > n₀. Відповідно t_j = n₀ – n_j; t_k = n_k – n₀.

Приклад 10. Вирішено консолідувати 3 платежі зі строками погашення 15.05, 15.06, 15.08, суми платежів — відповідно 10, 20, 15 тис. грн. Строк консолідованого платежу — 01.08. За умовами задачі S₁ = 10, S₂ = 20, S₃ = 15, t₁ = 78, t₂ = 47, t₃ = 14 днів. Враховуючи, що ставка простих відсотків дорівнює 8 %, отримаємо:

тис. грн.

Якщо термін об’єднаного платежу менший за терміни консолідованих платежів, тобто виконується умова, що n₀ < n₁, n₂, ..., n_k, тоді для простої ставки відсотків:

, де t_k = n_k – n₀;

для простої облікової ставки:

;

для складної ставки відсотків:

;

для складної облікової ставки:

.

Наступна задача полягає у визначенні строку консолідованого платежу при заданій його сумі. Запишемо рівняння еквівалентності на початкову дату:

.

Позначимо сучасну величину консолідованих платежів як P₀:

.

Тоді

Приклад 11. Платежі в розмірі 10, 20, 15 тис. грн. виплачуються через 50, 80, 150 днів після деякої дати. Вирішено замінити їх одним платежем, припустимо, 50 тис. грн. Звичайно, що таке розв’язання ситуації передбачає деяку відстрочку. Знайдемо строк консолідованого платежу за умови, що і = 10 %. За умовами задачі

тис. грн.

Отже,

року, або 301 день.