2.1.1. Питання для самоконтролю

1. Що таке клас (множина)?

2. Чому визначення множини, дане Г.Кантором, не є бездоганним?

3. Якими літерами (буквами, символами) позначають множину чи клас?

4. Чи можна вважати множиною сукупність реально існуючих предметів?

5. Як співвідносяться між собою поняття «клас», «множина», «обсяг», «сукупність», «загін», «колекція» та їм подібні?

6. Чи є загальноприйняті назви множин?

7. Що таке елементи множин (класу)?

8. Якими літерами (символами) позначають елементи множини?

9. Якими символами позначають належність елемента множині?

10. Якими літерами позначають множину множин?

11. Яким знаком позначають неналежність елемента множині?

12. Які множини (класи) вважаються рівними?

13. Які властивості випливають з визначення рівності множин?

14. У який спосіб обґрунтовується рівність довільних множин?

15. Що таке підмножина (підклас)?

16. Яка множина називається правильною частиною множини?

17. Якими символами позначають включення підмножини в множину?

18. Чи різняться між собою символи включення і належності?

19. Як обґрунтувати включеність одного класу в інший?

20. Що таке порожня множина або пустий клас?

21. Яким символом позначається порожній клас?

22. Як записати факт порожньої множини?

23. Що таке універсальна множина?

24. Яким символом позначається універсальна множина чи клас?

25. Що означає «задати клас» чи «задати множину»?

26. Чи має принципове значення порядок виписування елементів класу чи множини?

27. Які знаки використовуються для запису множини?

28. В який спосіб задаються класи чи множини?

29. Що таке «характеристична властивість»?

30. Чи може відповідати одній і тій самій множині кілька форм?

2.1.3. Підсумкові вправи та завдання

1. Наведіть приклади таких множин А, В, С, що А  В, В  С, але А  С.

2. Який із записів правильний: а  {а}; {а}  а; А  {А}; А = {А}; {А}  А?

3. Що можна сказати про клас {а, в}, якщо:

(а) а, в – найменші двоцифрові натуральні числа, які діляться відповідно на 3 і 4?

(б) а, б – найбільші двоцифрові числа, які діляться відповідно на 3 і 4?

4. Задайте 2-3 скінчені множини (класи) через перелік всіх їх елементів.

5. Чи має місце А  В = В  А симетричність?

6. Наведіть 2-3 приклади понять, які відображають властивість речей, а також відношення між ними?

7. Чи буде множина всіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною усіх прямокутних ромбів (В)? Як записати символічно, що А включено в В?

8. Визначте які з наведених понять є загальними, одиничними, збірними, нульовими:

«круглий квадрат», «учений», «батько традиційної логіки»?

9. Виразіть символічно зв’язок між класами (множинами). U – множина всіх людей; А – множина всіх студентів; В – множина студентів університету; С – множина студентів філософсько-теологічного факультету.

10. Що означають множини (класи) А В, А ∩ С, В ∩ С, А ∩ В ∩ С?, де U – клас усіх людей, А – клас усіх студентів, В – всі студенти університету, С – усі філологи.

11. Як записати множину (клас) людей, кожний з яких або студент університету, або відмінник?

12. Якщо А U В = А ∩ В, то яке відношення має місце між А та В?

13. Чи існують такі множини А, В, С, для яких одночасно виконувалися б вимоги: А U В = Ø; А ∩ С = Ø; А ∩ В ∩ С = Ø?

14. Виразьте символічно результати перетину класів А, В, С.

15. Які з наведених висловлень, що містять довільні класи А, В, С, є істинними:

    • Якщо А ≠ С і В ≠ С, то А ≠ С.

    • Якщо А ∩ В ? С і А U С  В, то А ∩ С = Ø.

    • Якщо А  (В U С) і В А U С, то В = Ø.

16. Як виразити символічно клас студентів, які не є віруючими?

17. Запишіть символічно належність порожнього класу як підкласу будь-якого класу?

18. Обсяги наведених нижче понять витлумачте як класи, вказавши на їхні елементи, відповідні їм власні підкласи, а також ті властивості, за допомогою яких можна утворити ці класи:

(а) «країна»; (б) «твори Т.Г.Шевченка»; (в) «помаранчева революція».

19. Запишіть символічно належність і неналежність елемента класу за умови, що елемент класу є підклас.

20. Передайте мовою логіки класів відношення між обсягами понять, що виконують функцію логічного підмета і логічного присудка в категоричних судженнях.

21. Як записується мовою логіки класів вираз: «клас усіх х, має властивість Q».

22. Наведіть приклади множин, складених із:

(а) назв квітів; (б) історичних подій; (в) геометричних фігур; (г) філософських напрямків; (д) нетрадиційних конфесій; (е) політичних систем; (є) політичних сил в Україні.

23. Назвіть елементи, які належать множині: (а) предмети, які вивчаються на І курсі філософського відділення; (б) пальців на руці; (в) гілок влади в Україні.

24. Нехай множина С – множина тварин. Чи належить цій множині: (а) слон; (б) мурашка; (в) сосна; (г) хобот слона; (д) щука.

25. А = множина багатокутників. Чи належать цій множині: (а) восьмикутник; (б) паралелограм; (в) круг; (г) відтинок; (д) паралелепіпед?

26. Запишіть множину (клас) різних цифр числа 3254882.

27. Запишіть множину різних букв у слові «параграф».

28. Запишіть множину А натуральних чисел, менших 7.

29. Запишіть за допомогою знака рівності і фігурних дужок речення: А – множина назв квітів: ружа, ромашка, лілея, тюльпан;

В – множина букв слова ‹ромашка›;

С – множина столиць пострадянських держав;

Д – множина різних слів у реченні «І побачив він степи, степи безкраї»

30. Вкажіть, яку характерну властивість має елемент множини {а, е, и, і, о, у}?

31. У поданих нижче множинах усі елементи, крім одного, мають якусь спільну властивість. Опишіть цю властивість і знайдіть (відшукайте) елементи, які не мають цієї властивості:

(а) {квадрат, круг, ромб, паралелограм};

(б) {синій, червоний, білий, колія, чорний};

(в) {4, 9, 16, 25, 30}.

32. Вкажіть серед поданих множин порожні множини:

а) множини людей на Сатурні;

б) множини міст України з населенням більш 5 мільйонів осіб;

в) множина круглих квадратів;

г) множина трикутних прямокутників.

33. Назвіть елементи множини студентів своєї групи, чиї прізвища починаються з літери А; з літери Б; ..., з літери Я. Які з цих множин є порожніми? До якої множини належите ви?

34. Чи є рівними множини А та В:

А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?

35. Серед заданих множин вкажіть рівні множини: А = {1, 3, 6}, В = {3, 6, 9}, С = {6, 9, 3}, Д = {3, 2, 6}, Е = {2, 3, 6}, F = {9, 6, 3}, К = {6, 3, 2}.

36. Для кожного із слів ‹сосна›, ‹осколок›, ‹осока›, ‹колос› складіть множину його букв. Чи є серед цих множин рівні?

37. Які з наведених множин є рівними між собою: А – множина квадратів; В – множина прямокутників; С – множина чотирикутників з прямими кутами; Д – множина прямокутників з рівними сторонами; F – множина ромбів з прямими кутами.

38. Дано множини: А = {а, б, в, г, д, е, є, ж, з, і}, В = {а, г, з, і}, С = {б, в, г, д, ж, з}, Д = {а, б, в}, Е = {б, в, г, д}, F = {а, і}.

Вкажіть, які множини є підмножинами множини А. Чи є F підмножиною В? Підмножиною якої множини є Д?

39. Дано три множини: С = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, М = {4, 1, 3, 2}, К = {4, 6, 5, 32}. Доведіть, що: (а) М  С; (б) К  С.

40. Нехай Q – множина усіх іменників. Які з наступних множин є підмножинами множини Q? Запишіть це за допомогою символа «».

(а) М = {море, низький, берег, пізно};

(б) F = {ріка, ліс, зелень, гордість};

(в) К = {клопіт, вірний, плисти, дерево}.

41. Дано, що А  В, В  С, чи буде А підмножиною С? Наведіть приклад.

42. Придумайте три множини А, В, С такі, що

(а) С  В і А  В

(б) В  С і С  А

(в) А  В, В  С, В  А.

43. Запишіть множину (а) днів тижня та (б) множину місяців року.

44. Знайдіть універсальний клас U для підмножини А – інститут, В – університет, С – академія.