1.1.Мова логіки класів(множин)

Головна мета цього навчального елемента полягає в тому, щоб осягнути базові поняття теорії множин (класів), її знакові (мовні) засоби та набуття навичок й умінь подання множин та їх запису, а також операцій над класами (множинами)^*.

Перш ніж приступити до виконання вправ і розв’язування завдань, варто відновити набутий вами теоретичний матеріал про мову логіки класів, яку можна вважати історично першою символічною мовою, що призначалася для формалізації понять, точніше їхніх обсягів, а також з’ясування на формальному рівні відношень між класами (множинами), виявляння на цій підставі специфіки відношень між знаками (символами), їх методологічної функції в процесі конструювання множини чи класу, визначення закономірностей поєднання знаків, їх прагматичної ролі в постановці та розв’язуванні теоретико-множинних проблем.

Логіка класів – це особлива система, а заодно й метод, що лежить в основі теорії понять, без якої майже неможливо розумувати стосовно аналітико-дедуктивних процедур.

Повторення теоретичного матеріалу варто розпочати із з’ясування змісту базових понять даної логічної системи: множина (клас), підмножина (підклас), одиничний клас, елемент класу, порожній клас, універсальний клас, включення (невключення), належність (неналежність) елемента класу, підмножини множині, рівність (нерівність) класів (множин) та інших знакових засобів цієї логічної теорії.

Нагадаємо зміст вищевказаних понять.

Оскільки поняття «множина» є основним (невизначуваним), то пояснимо його на прикладах. Можна говорити про множину студентів певної академічної групи, про множину слів на одній із сторінок конкретної книги, про множину голосних чи приголосних українського алфавіту і т. ін. В математиці слово «множина» вживається замість слів, що характеризують певну сукупність предметів, хоча ця сукупність може містити лише один предмет, а то й жодного. Для нас важливо те, що предмети будь-якої природи (книги, будинки, вулиці, міста, країни, числа, геометричні фігури та ін.), що утворюють (складають) множину, називаються елементами множини.

Множини чи класи позначають великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... Невизначені елементи деякої довільної множини символізують малими літерами латинського алфавіту (з індексами і без них): x, y, z, ..., x₁, y₁, z₁, ... і т. ін. Визначені елементи множини записують малими літерами початку латинського алфавіту (з індексами і без них): а, в, с, d, ..., а₁, в₁, с₁, d₁, ... і т. ін.

Знаки Î та Ï символізують відповідно належність (неналежність) елемента певній множині чи класу. Те, що елемент а належить множині М записують так: а Î М (читається: «а належить множині М», або «а Î М»: «а є елементом множини М», або «а входить до множини М»). Неналежність елемента а множині М записують так: а Ï М (читається: «а не є елементом М», або «а не належить множині М», або «а не входить до множини М»). Аналогічно: х Î М, х Ï М.

Не забудьте про те, що питання належності чи неналежності предмета до певної множини постає дуже часто в найрізноманітніших сферах знання. Так, наприклад, кажучи про те, що Марчук М.Г. – професор, ми стверджуємо, що Марчук М.Г. належить до множини усіх професорів. Або якщо ми кваліфікуємо творчий доробок філософа як такий, що базується на методології позитивізму, то ми відносимо (приписуємо) його до множини (класу) позитивістів і т. ін.

У який же спосіб задаються і записуються множини? Коли множина вважається заданою?

Множину вважають заданою, якщо про кожний предмет можна з певністю сказати, чи належить він до цієї множини чи ні.

Ви пригадуєте, що множину можна задати переліком всіх її елементів. Якщо, наприклад, літерами а, в, с, d позначити різні предмети (об’єкти), то множину цих предметів записують так: А = {а, в, с, d} (читається: А – це множина, елементи якої а, в, с, d).

Не забувайте при цьому згадати, що кожний предмет (елемент) входить у множину чи клас тільки один раз.

Крім вищеназваного способу задання множини, є ще й інший спосіб. Суть його в наступному: формулюють загальну властивість (ознаку) предметів, з яких утворюватимуть множину. Цю ознаку прийнято називати характеристичною (особливою або специфічною). Цей спосіб використовують тоді, коли йдеться про більш загальний клас чи множину.

Якщо, наприклад, задається множина А натуральних чисел менших 7, то загальною ознакою (властивістю) усіх елементів множини А буде властивість «бути натуральним числом і меншим за число 7». Перелічити елементи цієї множини досить легко: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Запис множини, для елементів якої вказана характеристична ознака, здійснюється так: у фігурних дужках пишуть спершу позначення елемента, відтак проводять вертикальну риску, після якої записують властивість, яку мають елементи даної множини, і тільки вони. Таким чином, множину натуральних чисел менших 7 записують так: А = {х| х – натуральне, х < 7}.

Отже, для того, щоб задати певну множину, треба перелічити її елементи, або вказати специфічну ознаку її елементів. Зауважимо, що перерахувати елементи множини можна тоді і тільки тоді, коли їх скінченна кількість, а вказати загальну (спільну) ознаку чи властивість елементів множини можливо навіть тоді, коли число елементів скінчене і нескінчене. Це не означає, що для запису нескінченних множин неможливо використати перший вид запису. Так, наприклад, множину натуральних чисел N можна репрезентувати у вигляді: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Але такий запис можливий тоді, коли видно, що приховується за крапками.

Завдання, в умові яких вимагалося вказати множину, елементи якої мають задану властивість, вам доводилося розв’язувати тоді, коли ви були ще школярами. Ці завдання формулювались так: «Підкресліть у цьому уривку тексту роману «Хліб і сіль» М.Стельмаха усі дієслова»; «Випишіть із цієї вправи усі іменники чоловічого роду»; «Назвіть усі голосні букви українського алфавіту» і т. ін.

Часто серед множин подибуються такі, що не містять жодного елемента. Причин з’яви таких множин чимало: одні з них пов’язані з побудовою теоретичної системи, інші мають суб’єктивний характер. Так, наприклад, вам треба скласти реєстр (список) студентів вашого факультету, які грають в хокей на льоду, тобто утворити множину студентів-хокеїстів. Насправді такі студенти на факультеті не навчаються. Отже, множина Х не містить жодного елемента. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою (пустою) і позначається знаком (символом) порожнього класу Ø.

Позначимо літерою А сукупність президентів, які є космонавтами. Нині відсутня будь-яка інформація про те, що хтось із президентів є космонавтом, тому множина А не містить жодного елемента. Цю ситуацію подають символічно так: А = Ø. До речі, порожні класи (множини), наприклад А та В, можуть бути рівними, але за умови: якщо х Ï А, то х Ï В і, навпаки, якщо х Ï В, то х Ï А. На основі принципу еквівалентності множин (класів) мусимо визнати, що множини (класи) А та В є рівними: А = В.

Таким чином, ми підійшли до поняття рівності множин (класів). Зауважимо, що проблема рівності множин не є тривіальною, оскільки з відношення рівності випливає ряд властивостей взаємозв’язку між множинами.

Ми вже знаємо, що рівними є ті і тільки ті множини (класи), котрі містять одні й ті ж самі елементи. Рівність множин чи класів записують так: А = В. Наприклад, множина А = {1, 3, 5, 7} і В {7, 5, 3, 1} рівні, оскільки складаються з однакових елементів. Пам’ятайте, що множина не змінюється, якщо переставити місцями її елементи.

З означення рівності множин (класів) випливають такі властивості: (а) А = А; (б) Якщо А = В, то В = А; (в) Якщо А = В, В = С, то А = С. Запис А ≠ В означає, що принаймні одна із множин містить елемент, який не належить одній із двох множин. Щоб обґрунтувати рівність довільних множин А та В, треба встановити, що кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки. Для цього досить перевірити: (1) коли х Î А, то х Î В; (2) коли х Î В, то х Î А. Нагадаємо, що обґрунтувати рівність класів (множин) можна відомим вам принципом еквівалентності.

У контексті викладеного вище напрошується питання про те, що таке підмножина. Множина В є підмножиною множини А в тому і тільки в тому випадку, коли кожний елемент множини В належить множині А. Цю ситуацію записують так: В Ì А (або А É В) і читають: «Множина В є підмножиною А». Знак Ì вживається для позначення зв’язку між множинами, який виражається словосполученням «є підсистемою».

Нехай А – множина усіх студентів Чернівецького національного університету, а В – множина студентів філософсько-теологічного факультету цього ж таки університету. Очевидно, що множина В входить у множину А. У цьому випадку множину В називають підмножиною множини А.

Прийнято вважати, що кожна множина А є підсистемою самої себе: А Ì А, а також і те, що порожня множина Ø є підмножиною будь-якої множини А: Ø Ì А.

Неабияке значення в теорії множин (класів) має знання про власні й невласні підмножини тієї чи тієї множини для розв’язування певних завдань. Тому ви маєте знати наступне: будь-яка непорожня підмножина В множини А, яка не співпадає з А, називається власною підмножиною. Підмножини А та Ø називаються невласними підмножинами множини А.

Розглянемо цю ситуацію на прикладі.

Множина А = {2, 4, 8} має такі підмножини: {2}, {4}, {8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}, {2, 4, 8}, {Ø}. З цих восьми підмножин останні дві підмножини {2, 4, 8} та {Ø} є невласними підмножинами множини А, а решта шість підмножин є власними підмножинами множин А.

Для коректної формалізації відношення між підмножиною і множиною, маємо навчитись розрізняти власні і невласні підмножини певної множини. Якщо підмножина В строго включається у множину А (В Ì А; де А ≠ В), то в цьому випадку В є власною підмножиною А. Якщо має місце широке включення, тобто В Í А (читається: множину В включено в множину А), то це означає, що кожний елемент множини В є елементом множини А, при цьому В називається підмножиною, а множина А – надмножиною (або метамножиною). Таке включення не виключає, що В = А. Такі множини називаються невласними. Отже, якщо має місце широке включення, то множина В є невласною підмножиною А.

Інакше кажучи, якщо властивості, якими задані певна множина та її підмножина, співпадають (є одними й тими ж), то ці множини будуть рівними. Тому вважається, що множина є частиною самої себе (іноді кажуть «повною частиною»). Якщо ж властивість, якою задана певна підмножина, суперечить властивості, якою задана сама множина, то дана підмножина буде порожньою. А тому порожня множина є частиною будь-якої множини. Повну й порожню множини називають невласними підмножинами, а решту підмножин – власними. Пам’ятайте, що число підмножин певної множини можна обчислити за формулою m = 2ⁿ (де n – число елементів). Ця формула знадобиться нам для розв’язування певного типу завдань.

Нагадаю, що підмножинами ми оперуємо постійно, виділяючи частини різних сукупностей предметів чи понять. Умінню виділяти частини тієї чи тієї множини ми вчимося, починаючи зі шкільної лави, а може й раніше. Так, на уроках української (чи іншої мови), ви виконували вправи з такими умовами: «Підкресліть у цьому реченні усі прикметники»; або у вузі, досліджуючи, наприклад, роль прийменникових зворотів у поезії Д.Павличка «Пелюстки і леза», ставили собі завдання: «Виділіть серед різних прийменникових зворотів ті, які містять прийменник «в» та ін.; або, наприклад: «Виділіть у множині світових релігій ті, котрі належать до нетрадиційних». В буденності нам також доводиться оперувати поняттям підмножини: множина реліктових будинків по вул. Головній є підмножиною множини всіх будинків м. Чернівці; множина стільців 26 аудиторії VІ корпусу ЧНУ є підмножиною множини всіх аудиторних стільців ЧНУ і т ін.

І останнє: зверніть увагу на поняття універсальної множини та її особливості. Ми, як правило, забуваємо про це. Зауважимо, що ситуації, в яких усі множини розглядається як підмножини однієї і тієї ж множини (символ універсуму), дуже часті. Такі множини називаються універсальними, символічно їх позначають літерою U. Отже, якщо U – множина усіх студентів певного університету, то підмножини (студенти факультетів А, В, С) постають як підмножини цієї ж універсальної множини. Включеність підмножини в універсальній клас чи множину записують символічно так: А Ì U, В Ì U, С Ì U і т. ін. Аналогічно, нехай А – множина тих студентів, котрі набувають кваліфікації філософа, В – множина тих, хто готується стати соціологом, С – множина тих, хто хоче стати релігієзнавцем, Д – множина тих, хто присвятив себе теології. Перелічені множини {А, В, С, Д} можна розглянути як підмножини однієї множини – множини студентів філософсько-теологічного факультету ЧНУ.

Отже, відновивши шляхом повторення навчального матеріалу, базові поняття, терміни, символи навчального елемента «Мова логіки класів», ви можете приступати до виконання вправ і розв’язування завдань. У випадку, якщо цих знань виявиться замало, то цей навчальний елемент передбачає знайомство із рекомендованою до нього літературою, яка охоплює майже увесь зміст цього навчального елемента.

Завдання. Визначте вид поняття за обсягом: «сузір’я», «перший президент України», «президент», «відьма».

Зразок відповіді. Як відомо, обсяг поняття – це множина або клас предметів, кожен з яких має ознаки (-у), відображені в змісті поняття. Згідно з означенням (визначенням), зазначені в умові завдання поняття належать до таких видів: «сузір’я» – загальне, збірне; «перший президент України» – одиничне; «президент» – загальне; «відьма» – нульове, або поняття з порожнім класом.

Завдання. Подайте 2-3 довільні скінченні класи переліком всіх елементів або підкласів.

Відповідь. Клас «президент України» містить такі елементи класу {М.Грушевський, Л.Кравчук, Л.Кучма, В.Ющенко}. Клас планет Сонячної системи складається з елементів {Земля, Марс, Венера, Юпітер, Сатурн, Меркурій, Уран, Нептун, Плутон}.

Клас умовиводів містить підкласи {необхідні умовиводи, правдоподібні умовиводи}.

Завдання. Чи буде множина (клас) усіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною (підкласом) усіх прямокутних ромбів (В). Як записати символічно, що А включено в В?

Відповідь. Оскільки множини А та В рівні, тобто А = В, то включення множини А в множину В матиме такий вигляд: А Í В (читаємо: «Клас (множина) А включений (-а) в клас В»).

Завдання. Наведіть два-три приклади понять, в яких відображено відношення між обсягом та запишіть їх символічно, послуговуючись мовою логіки класів (множин).

Відповідь. (а) «Рівносторонній прямокутник» (А) і «прямокутний ромб» (В): А = В;

(б) «Українська мова» (А) і «природна мова» (В): А Ì В;

(в) «Українська мова (А), «світова мова» (В), «мова» (С):

Якщо А Î В, В Î С, то А Î С.

Завдання. Наведіть приклад множин (класів) А, В, С, де А Î В, В Î С, і А Î С. Відповідь обґрунтуйте.

Зразок відповіді. «Сократ» (А), «Людина» (В), «Смертний» (С). Оскільки ці множини пов’язані між собою відношенням транзитивності, то якщо А Î В, В Î С, то А Î С.

Зауважимо, що ви можете дати інший варіант відповіді та її обґрунтування.

Завдання. Запишіть символічно належність (неналежність) елементів 6, 28, 17, ⅔, множині парних натуральних чисел А.

Відповідь. 6 Î А; 28 Î А; 17 Ï А; ⅔ Ï А.

Вправа. Як можна назвати множину артистів, що працюють в одному театрі?

Відповідь. {Трупа}.

Вправа. Запишіть множину А натуральних чисел, меншу 7.

Відповідь. А = {х \/ х – натуральне, х < 7}.

Вправа. Чи є рівними множини (класи) А та В:

А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?

Відповідь. Множини А та В є рівними (А = В), оскільки вони складаються з однакових елементів: 3, 5, 7, 9.

Вправа. Запишіть множину різних букв у слові ‹параграф›.

Відповідь. Множиною різних букв у слові ‹параграф› є {п, р, г, ф}.