2.6.2. Математическое описание динамических свойств объектов

Характер переходных процессов может быть определён аналитическим способом (это делают на стадии проектирования САР) или экспериментально (на стадии испытаний).

При аналитическом способе сначала описывают динамические свойства объекта и регулятора с помощью системы дифференциальных и алгебраических уравнений, и затем решают её с применением цифровой вычислительной техники и различных методов приближённых вычислений (Эйлера, Рунге-Кутта, Милна и др.).

В основу исходных дифференциальных и алгебраических уравнений, описывающих динамические свойства объекта, обычно положены фундаментальные законы, относящиеся к соответствующему виду физических процессов, а также закон сохранения энергии и вещества (уравнения энергетического и материального баланса).

Рассмотрим, несколько примеров составления дифференциальных уравнений объектов.

Пример 1

Объектом является цистерна цилиндрической формы с площадью дна S (м²) .

На момент времени t₀ цистерна заполнена жидкостью до уровня H (м). Объём жидкости V (м³). (рисунок 10)

По одной трубе в цистерну вливается вода с объёмным расходом G₁(t), по другой выливается с расходом G₂(t). Оба расхода измеряются в м³/с и изменяются во времени произвольным образом (рис.2.14).

Попробуем составить уравнение динамики этого объекта.

Будем считать, что с момента t0 прошел небольшой промежуток времени Δt. За этот временной интервал объём жидкости в цистерне изменился на величину: ΔV = [G1(t) - G2(t)]· Δt (1) Поскольку цилиндрическая цистерна имеет постоянное поперечное сечение по всей высоте, приращение объёма можно выразить следующим образом: ΔV = S·ΔH (2) Если подставить выражение (2) в выражение(1) и разделить обе части уравнения на Δt, получим:

(3)

Если считать, что временной интервал Δt является бесконечно малой величиной, отношение превратится в производную, а алгебраическое уравнение (3) превратится в дифференциальное уравнение объекта:

(4)

Из этого уравнения следует, что скорость и направление изменения параметра H определяется соотношением расходов G₁(t) и G₂(t).

Если G₁(t) > G₂(t), правая и левая части уравнения будут больше 0. Поскольку величина S положительна, будет положительна и производная, что соответствует увеличению параметра H (так и должно быть, если приток жидкости больше, чем слив).

При G₁(t) < G₂(t) - процесс пойдёт в обратном направлении.

В частном случае, при G₁(t) = G₂(t) производная будет равна 0 и, следовательно, параметр H будет сохранять своё значение. Такое состояние объекта называется динамическим равновесием.

Из уравнения (4) следует, что на скорость изменения параметра Н влияет и

величина S: чем она больше, тем меньше будет производная при той же разности расходов, а значит, и скорость изменения параметра Н будет меньше.

Следовательно, величина S (площадь основания цистерны) является мерой инерционности нашего объекта.

Какой вид аккумулятора содержит этот объект? Аккумулятор вещества (жидкости).

Какой порядок имеет полученное дифференциальное уравнение? Поскольку в его состав входит первая производная, то и уравнение имеет первый порядок.

Как можно с помощью этого дифференциального уравнения и ЭВМ получить аналитическое описание переходного процесса: H = f(G₁,G₂,t)?

Нужно задать характер изменения во времени расходов G₁ и G₂ и применить программное обеспечение одного из методов приближённого решения дифференциальных уравнений.

Пример 2

Объект – деталь массой m, которая перемещается прямолинейно (например, поршень дизеля).

Применим второй закон Ньютона, согласно которому такое тело движется с ускорением, прямо пропорциональным действующей на него силе и обратно пропорционально его массе: a = F/m (5)

Примем во внимание, что ускорение – это первая производная от скорости по времени. Кроме того, если на тело действуют несколько сил, то в законе Ньютона речь идёт об их равнодействующей, которая может быть представлена, как разность движущей и тормозящей составляющих. Выполнив эти подстановки и умножив обе части уравнения на m, получим дифференциальное уравнение:

(6)

Это дифференциальное уравнение, характеризующее скорость перемещения тела. Оно имеет первый порядок, поскольку содержит первую производную.

Если нас интересует не скорость, а путь Х, пройденный телом в процессе прямолинейного перемещения, следует учесть, что скорость является производной по времени от пути: . Подставив это выражение в уравнение (6), получим: (7)

Это дифференциальное уравнение второго порядка.

Уравнения (6) и (7) характеризуют прямолинейное движение тела, которое может накапливать или отдавать кинетическую энергию. Мерой его инерционности является масса m: чем она больше, тем медленнее реагирует тело на возникший дисбаланс движущих сил и сил сопротивления.

Приближённым численным интегрированием уравнения (6) можно получить аналитическое описание переходного процесса относительно параметра V. Интегрированием уравнения (7) можно получить переходный процесс относительно параметра X.

Пример 3

Кинетическую энергию может накапливать и вращающееся тело, например ротор турбины. По аналогии с уравнением (6) для него можно написать:

(8)

где: ω – круговая частота вращения ротора;

= угловое ускорение;

М_движ. – движущий момент (в паровой турбине он создаётся воздействием потока пара на рабочие лопатки);

М_сопр. – момент сопротивления (это момент генератора, подключённого к турбине + момент сил трения);

J – статический момент инерции ротора (определяется массой и формой ротора).

Если описать аналитически М_движ и М_сопр , выполнить линеаризацию характеристик турбины и перейти к относительным значениям параметров, уравнение (8) можно преобразовать к следующему виду:

(9)

где φ – относительное изменение скорости вращения ротора турбины;

μ – относительное изменение положения регулирующего органа на подводе пара к турбине;

f(t) – меняющаяся во времени нагрузка;

Т_а – постоянная времени машины;

θ – коэффициент саморегулирования объекта.

Численным интегрированием уравнения (9) можно получить аналитическое описание переходного процесса – изменения во времени частоты вращения ротора турбины, вызванного изменением нагрузки.

Отдельно следует пояснить физический смысл коэффициентов Т_а и θ.

Т_а является мерой инерционности объекта. Физический смысл этого параметра – это время разгона машины до полных оборотов при отключенной нагрузке.

θ – характеристика устойчивости объекта. Если θ > 0 – объект устойчив. т.е. он может переходить при изменении нагрузки из одного установившегося

состояния в другое без помощи регулятора. Если θ < 0 – объект без регулятора не устойчив.