4. Суть середніх величин та їх властивості.

Серед узагальнюючих показників, які застосовують для характеристики суспільних явищ і виявлення закономірностей їх розвитку, велике значення мають СВ. Їх використовують вивчаючи суспільні явища з метою виявлення характерних, закономірних рис у конкретних умовах місця і часу.

СВ – це узагальнююча міра ознаки, що варіює у стат сукупності. Середня характеризує типовий рівень ознаки в розрахунку на одиницю однорідної сукупності. В середній компенсуються індивідуальні відмінності елементів та узагальнюються типові риси.

Варіаційний ряд розподілу, утворений внаслідок зведення і групування матеріалів стат спостереження, на основі якого визначають середню, складається з двох елементів: варіанта – числове значення розміру кількісної ознаки, частота – числа, що вказують на кількість повторень того чи іншого варіанта.

СВ в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:

= , де х – рівень ознаки, варіант; n – число варіантів; m – степінь середньої.

Зміна степеня середньої змінює її вигляд: m = -1 середня гармонійна; m = 0 середня геометрична; m = 1 середня арифметична; m = 2 середня квадратична; m = 3 середня кубічна.

Властивості СВ:

1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутків варіанти на частоту.

2. Якщо від кожної варіанти відняти будь-яке число А, то значення середньої відповідно зменшиться на число А.

3. Якщо до кожної варіанти додати будь-яке число В, то значення середньої відповідно збільшиться на число В.

4. Якщо кожну варіанту помножити на будь-яке стале число С, то значення середньої відповідно збільшиться у С разів.

5. Якщо кожну варіанту поділити на будь-яке стале число Д, то значення середньої відповідно зменшиться у Д разів.

6. Якщо всі частоти помножити або поділити на будь-яке стале число Е, то значення середньої при цьому не зміниться.

7. Сума відхилень варіантів від їх середньої завжди дорівнює 0.

5. Основні види середніх величин та умови їх використання.

У статистиці виділяють основні види СВ:

1. Середня арифметична, яка застосовується у випадках коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки з окремих одиниць досліджуваної сукупності. Вона буває двох видів:

а) проста, при якій складаються всі окремі варіанти і сума ділиться на їх кількість

= , де х – індивідуальні значення ознаки (варіанти), n – кількість варіант

б) зважена, в якій крім варіантів, вказується скільки разів цей варіант трапляється у відповідному ряді

= , де f – частота.

2. Середня гармонійна – обернена середній арифметичній. Вона застосовується у випадку, коли відомі окремі значення ознаки і обсяги явищ, а частоти невідомі

а) проста = , де - сума зворотних значень варіантів

б) зважена = , W – добуток варіанти x на частоту f.

3. Середня геометрична, яка застосовується у випадку, коли загальний обсяг явищ становить не суму ознак, а їх добуток

.

4. Середня квадратична, яка застосовується у випадку, коли ознака виражена лінійними розмірами площі (м )

а) проста , б) зважена .

5. Середня кубічна, яка застосовується у випадку, коли ознака виражена лінійними розмірами об’єму (м )

а) проста , б) зважена .

Часто СВ обчислюють за даними не тільки дискретних, а інтервальних рядів розподілу.

Для цього спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд на дискретний, визначивши середнє значення інтервалу кожної групи як півсуму його верхньої і нижньої меж. Середнє значення відкритого інтервалу визначають з розміру інтервалу наступної або попередньої групи. Середні значення інтервалу вважають варіантами і наступні розрахунки здійснюють так само як і в дискретному ряді.