Функциональная зависимость (fd)

Пусть X и Y два множества атрибутов в схеме R.

Определение. X функционально определяет Y(обозначается Х->Y) тогда и только тогда, когда не

существует двух различных строк (векторов) в R с одноименными значениями из X и различными из Y.

Например, в классном журнале с атрибутами имя, присутствие и отметка за данное число. Атрибут имя функционально определяет все остальные атрибуты.

Функциональная зависимость позволяет определить базовое для РМ понятие первичного ключа отношения.

Определение. Множество атрибутов называется кандидатом в ключи для отношения, если оно функционально определяет все другие атрибуты и является минимальным множеством (т.е. ни один атрибут из множества не может быть исключен так, чтобы оно по-прежнему функционально определяло остальные).

Определение. Для любого отношения один из кандидатов в ключи отношения выделяется и называется первичным ключом.

Замечание. Первичный ключ не обновляется. Первичный ключ может быть использован для выбора спецификации строк в отношении и для того,чтобы связать отношение в нечто целое.

Определение. Первичный ключ для R₁, помещенныйв R₂, называется вторичным ключом в R₂.

Одно из основных правил целостности данных связано с первичным ключом. Целостность для элементов информации реляционной базы данных: ни одна строка таблицы не может принимать нулевое значение в каком-либо атрибуте из первичного ключа.Это свойство означает, что любые строки однозначно идентифицируемы.

Понятие функциональной зависимости позволяет определить и исследовать некоторые каналы утечки в базах данных, которые появляются из возможности вывода из одних объектов других (или еще один случай потока информации). Пусть множество F - это класс пар Х-->Y, X, YÍU=Attr(R) - множество атрибутов R.

Теорема 1. 1. Если YÍXÍU, то X->Y.

2. Если X->Y, Y->Z, X,Y,ZÍU, то X->Z.

3. Если X->Y, X->Z, X,Y ZÍU, то X->YÇZ.

4.Если X->Y, X->Z, X,Y,ZÍU, то X->YÈZ.

Доказательство.

1. Пусть есть два набора значений атрибутов Y, что у¹у'. Y соответствует компонентам вектора X, для которых значения атрибутов в X не совпадают на у и у'.

2. Для строк с различными значениями атрибутовY значения векторов для атрибутов X различны. Для строк с различными значениями Z значения Y различны. Тогда значения X различны. Следовательно,X->Z.

3. Очевидно.

4. а¹a' из YÈZ, тогда отличаются значения атрибутов хотя бы Y или Z, например, Z. Тогда есть отличия на X. Теорема доказана.

Определение. Множество пар функциональных зависимостей F⁺ называется замыканием множества пар функциональных зависимостей F, если F⁺ -множество всех функциональных зависимостей, которые порождаются множеством F при помощи пп.1, 2, 3, 4 теоремы 1, то есть конструктивно построены, исходя из F, используя правила теоремы.

Определение. Два множества функциональных зависимостей (FD) F и G называются эквивалентными,если F⁺=G⁺.

Доказанная ниже теорема позволяет значительно сократить класс множеств FD, которые необходимо изучать для одного и того же F⁺. B частности, достаточно ограничиться редуцированными FD, эквивалентными F.

Определение. Множество F функциональныхзависимостей называется редуцированным, если:

1) в F нет двух пар Х->Y и X'->Y' таких, чтоX=X' и Y¹Y';

2) для всех X->Y в F XÇY=0.

Теорема 2. Для произвольного F существует редуцированный G такой, что F⁺=G⁺.

Доказательство. Для каждого Х->Y из F построим эквивалентные функциональные зависимости в G, удовлетворяющие условиям редуцированного класса. Пусть X->Y, X'->Y' из F такие, чтоХ=Х', Y¹Y'.Если Y¹Y', то возьмем в G X->YÈY' по п. 4.

Наоборот: если в G есть X->YÈY', то в G⁺ по п.1есть YÈY'->Y и YÈY'->Y'.

Тогда по п. 2 теоремы 1 в G⁺ есть Х->Y, Х->Y'.Пункт 1 доказан.

Пусть Х->Y, XÇY¹Æ.

Отсюда по п.1 и п.2 теоремы 1: Y->Y\(YÇX)=>Y->X->Y\(YÇX).

Обратно. Если X->Y\(YÇX) есть в G, то Х->Y есть в G⁺, т.к. по п.1 теоремы 1: X->XÇY и Х->(Y\ (YÇX))È(XÇY)=Y по п.4. Теорема доказана.

Использование функциональной зависимости для компрометации базы данных иллюстрируется следующим простым примером.

Пример 1. Пусть R - отношение в реляционной базе данных некоторой компании, содержащее атрибуты имя - ранг - зарплата. Предположим, что зарплата - совершенно секретные сведения, а имя и ранг - секретные. Предположим также, что в R выполняется следующая функциональная зависимость РАНГ -> зарплата, что означает, что все служащие одного ранга получают одинаковую зарплату. Тогда пользователь, имеющий допуск к данным не выше секретно, может получить допуск к совершенно секретной информацию о конкретном лице, если он знает соответствие ранг-зарплата хотя бы для некоторых лиц.

Для того, чтобы проанализировать возможность возникновения подобных зависимостей, надо изучить все множество F⁺ для набора исходных зависимостей F. Это удобнее сделать, если F - редуцированное множество, что не ограничивает общности, благодаря доказанной теореме.