Розв’язання: вказані ймовірності набувають значень

Р(X = 1) = 0,6; Р(X = 2) = 0,40,5 = 0,2;

Р(X = 3) = 0,40,50,6 + 0,40,50,4 = 0,2.

Знайдемо ряд розподілу

Х	1	2	3
Р	0,6	0,2	0,2

M[х] = 10,6 + 20,2 + 30,2 = 1,6

2.4.1.2. Мода дискретної випадкової величини. Медіана

Модою дискретної випадкової величини називається найімовірніше її значення. Вона позначається через .

Для ряду

х	1	2	3	4
р	0,1	0,4	0,3	0,2

мода = 2.

Д ля неперервної випадкової величини модою являється те значення х, в якому щільність ймовірності максимальна.

У загальному випадку математичне сподівання і мода випадкової величини не співпадають.

Часто застосовується ще одна характеристика положення – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою, як правило, користуються тільки для неперервних випадкових величин, хоча формально її можна визначити і для дискретної випадкової величини.

Медіаною випадкової величини Х називається таке її значення е, для якого Р(Х < е) = P(X > е), тобто однаково ймовірно, чи буде випадкова величина Х менша за е, чи більша за е.

Оскільки площа, розташована між віссю абсцис і кривою щільності ймовірності, дорівнює одиниці, то рівність можна записати у вигляді

P(X < е) = P(X > е) = 1/2.

Очевидно, якщо крива щільності ймовірності симетрична відносно математичного сподівання, то значення характеристики положення – математичне сподівання, моди і медіани – збігаються.

2.4.2. Моменти випадкових величин

У теорії ймовірностей і математиці широко використовуються числові характеристики, що називаються моментами. Найбільш поширені початкові та центральні моменти.

Для ряду розподілу дискретної випадкової величини

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	р2	...	pn

початковим моментом _i дискретної випадкової величини Х і-ого порядку називається математичне сподівання і-ого степеня цієї випадкової величини:

Аналогічно визначається початковий момент і-ого порядку для неперервної випадкової величини, якщо (х) – щільність ймовірності:

Якщо M[x] – математичне сподівання для випадкової величини Х, то центрованою випадковою величиною називається відхилення випадкової величини від математичного сподівання:

= X – M[x].

Центральним моментом _i і-ого порядку дискретної випадкової величини Х називається математичне сподівання і-ого степеня центрованої випадкової величини:

Для неперервної випадково величини Х і-ий центральний момент визначається формулою

Особливе положення серед центральних моментів належить другому центральному моменту (і = 2), який позначають через D[x] або Dx і називають дисперсією випадкової величини. Для дискретних випадкових величин

для неперервних випадкових величин

Іншими словами: дисперсія – математичне сподівання квадрата центрованої випадкової величини

Дисперсія характеризує розкид випадкової величини відносно математичного сподівання і має розмірність квадрата випадкової величини.

На практиці часто користуються поняттям середньоквадратичного відхилення як квадратного кореня з дисперсії:

[x] має розмірність випадкової величини. У практичних розрахунках використовується коефіцієнт варіації

Ця величина характеризує ступінь випадковості. Наприклад, його обчислили для двох рядів дискретних випадкових величин. Той із рядів, що має більший коефіцієнт варіації, має і більший розкид випадкової величини.

Для характеристики симетрії розподілу випадкових величин відносно математичного сподівання використовують коефіцієнт асиметрії:

Якщо розподіл симетричний відносно математичного сподівання, то k₃ = 0.Чим більша асиметрія розподілу випадкових величин відносно математичного сподівання, тим більше за модулем значення коефіцієнта асиметрії. Для характеристики крутості кривої щільності ймовірності неперервної випадкової величини використовують ексцес:

Для нормального закону розподілу Е = 0.Якщо Е > 0, вершина кривої щільності ймовірності розміщена вище кривої щільності ймовірності нормального закону, і навпаки, якщо Е < 0, то вершина кривої щільності ймовірності розміщена нижче кривої щільності ймовірності нормального закону розподілу.