2.3. Щільність розподілу
Нехай для неперервної випадкової величини Х відома функція розподілу F(х), яку вважаємо диференційованою.
Відомо, що P(x < X < X + X) = F(X).
Визначимо середнє значення ймовірності на цьому проміжку, поділивши знайдену ймовірність на х:
.
Шукаємо границю цього відношення при х 0.Згідно з означенням границі відношення приросту функції до приросту аргументу маємо
Позначимо F’(х) = (х) () і назвемо щільністю розподілу (щільністю ймовірності, диференціальною функцією).
F
(x)
являється вичерпною характеристикою
випадкових
величин,
але по ній важко судити про характер
розподілу випадкових величин у нескінченно
малому околі точки числової вісі.
А
тому і вводиться ще й щільність розподілу
(х).Крива
у
=
(х)
називається кривою
розподілу випадкової
величини X.
Із означення щільності розподілу випливає, що вона не може бути від’ємною, як похідна від незростаючої функції.
Виразимо функцію розподілу F(x) через щільність розподілу (х).Знайдемо інтеграл від (*) в межах від – до х:
(2)
Виразимо через щільність розподілу ймовірність попадання випадкової величини Х у заданий інтервал (, ) :
Р(
< X
< )
= F()
– F()
=
(3)
Геометрично ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (, ) являє собою площу фігури, яка обмежена знизу віссю абсцис, зверху кривою щільності розподілу, а з боків ординатами х = і х = .
Ймовірність того, що випадкова величина Х попадає між точками x і х + dx:
площа
прямокутника
Покладаючи
= –,
= +,
одержуємо P(–
< X
< +)
= = 
тобто площа, розташована під кривою
розподілу дорівнює одиниці.
Закон розподілу випадкових величин через щільність розподілу більш зручний, ніж функція розподілу, але використовується лише для неперервних випадкових величин.
2.4. Числові характеристики випадкових величин
Числові характеристики випадкових величин відіграють важливу роль у теорії ймовірностей і статистиці. У практиці дослідження випадкових величин іноді бувають невідомими закон їх розподілу або його параметри, може статися, що закон розподілу відомий, проте він не дає повного уявлення про випадкову величину. Тоді слід користуватися числами, які описують випадкові величини сумарно. Такі числа, які описують сумарно найістотніші характеристики розподілу, називаються числовими характеристиками випадкових величин.
2.4.1. Числові характеристики положення
До цих характеристик належать: математичне сподівання, мода і медіана.
2.4.1.1. Математичне сподівання
Розглянемо математичне сподівання дискретної випадково величини. Нехай задано ряд розподілу
x |
x1 |
x2 |
x3 |
... |
xn |
p |
p1 |
p2 |
p3 |
... |
pn |
Нехай відбулося N незалежних дослідів, в кожному із яких величина Х прийняла певне значення. Припустимо, що
х1 з’явилося m1 разів,
х2 з’явилося m2 разів,
……………………..
хі з’явилося mі разів.
Безперечно,
що
.
Обчислимо
середнє арифметичне спостережених
значень випадкових величин Х,
яке позначимо через
або M*[X]:
Але
– відносна частота і тоді
(1)
Як
довів Бернуллі при зростанні числа
дослідів N
відносна
частота
наближається (сходиться за ймовірністю)
до відповідної рі.
Отже і середнє арифметичне
(M*[x])
наближається до
.Остання
величина позначається через M[x]
або mx
і називається математичним сподіванням
випадкової величини:
(2)
Із порівняння (1) і (2) видно, що середнє арифметичне спостережених значень випадкових величин при великому числі дослідів як завгодно близько підходить до математичного сподівання.
Для неперервної випадкової величини Х математичне сподівання, природньо, виражається все не сумою, а інтегралом
(3)
де (х) – щільність розподілу випадкової величини Х.
Формула (3) одержується із (2), якщо в неї замінити окремі значення хі неперервно змінюючимся параметром х, ймовірності рі – елементом ймовірності (х)dx, кінцеву суму інтегралом.
Приклад. Ймовірність придбання потрібної речі у першій крамниці дорівнює 0,6, у другій – 0,5, у третій – 0,4.Скласти ряд розподілу числа відвідуваних крамниць, якщо покупець відвідує наступну крамницю за умови, що потрібної речі не виявилося у попередній. Знайти математичне сподівання.