1.5.2. Формула Пуассона

Якщо ймовірність появи події А в кожному з n незалежних дослідів однакова і близька до нуля (0 < p  0,1), а кількість дослідів достатньо велика, то ймовірність того, що подія А в n дослідах настане m разів, наближено обчислюється за формулою

де = np.

Доведення.

При доведенні приймається, що середнє число появи події А стане:  = np = const.

Згідно з формулою Бернуллі

Знайдемо

Таким чином, при n великих і малих р можна користуватися формулою Пуассона

де  = np (1)

Для значень р, близьких до одиниці (0,9 < р < 1), і великих n також можна користуватися формулою Пуассона, але враховуючи, що

Тоді = nq = n(1 – p) і

(2)

Приклад. Крамниця отримала 1000 пляшок соку. Ймовірність того, що у дорозі пляшка розіб’ється дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що розіб’ється 0,1,8 пляшок.

= 10000,8 = 8.

P₁₀₀₀(0) = = 0,0003, P₁₀₀₀(1) = = 0,0026, P₁₀₀₀(8)= = 0,1395.

1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа

Якщо кількість дослідів достатньо велика, а числа р або q не прямують до нуля при n → , для обчислення ймовірності появи події А m разів у n дослідах користуються асимптотичною формулою Муавра-Лапласа.

Якщо ймовірність настання події А в n незалежних дослідах однакова і дорівнює р(0,1 < p < 0,9), а число дослідів

достатньо велике (npq  10), ймовірність того, що подія А в n дослідах настане m разів, наближено обчислюється за формулою

(1)

де

Для функції (x) складено таблиці. Використовуючи її, слід пам’ятати, що функція парна і для х < 0 треба брати значення функції для х > 0. Крім того, . Якщо х > 5, для практичних розрахунків треба брати (x) = 0.

Приклад. Знайти ймовірність того, що у вагоні з 500 ящиків яблук рівно половина виявиться нестандартними, якщо ймовірність того, що в навмання взятому ящику виявляється нестандартними 40 % яблук.

Розв’язання: n = 500; p = 0,4; q = 0,6; npq = 5000,4 0,6 = 120.

Оскільки 120 > 10, то користуємося формулою (1):

1.5.4. Інтегральна формула Муавра-Лапласа

На відміну від попередньої формули, інтегральна формула дає можливість знайти ймовірність настання події не якесь певне число разів, а ймовірність того, що це число разів виявиться розташованим у межах від m₁ до m₂(m₁ < m₂).

Якщо за однакових умов виконується n незалежних дослідів і ймовірність настання події А у кожному з них однакова і дорівнює р(0,1 < p < 0,9), а число дослідів досить велике (npq  10), то ймовірність того, що подія А в цих випробуваннях відбудеться число разів, розташоване в межах від m₁ до m₂ включно (m₁ < m₂), визначається наближеною формулою

P_n(m₁ m m₂)  (x₂) – (x₁), (1)

де .

Точність обчислень за обома формулами Муавра-Лапласа покращується зі збільшенням виразу npq. При використанні інтегральної формули Муаврв-Лапласа (1) слід пам’ятати, що:

1) функція (х) непарна (х) = (х). Тому ця функція табульована лише для додатних значень аргументу х;

2) обмежена, монотонно зростає і .

На практиці при х > 5 можна вважати, що (х)  0,5.

Приклад. Для попереднього приклада