Вступ

Ще зовсім недавно у природничих та технічних дисциплінах в основному застосовувалися класичні розділи математики, такі як диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння. Але останні десятиріччя істотно змінився стан справ. Ймовірно-статистичні методи глибоко проникнули у такі науки як фізика, військова справа, теорія інформацій, теорія надійності, статистичний контроль якості продукції, будівельна механіка корабля, медицина, психологія і т. п.

Предмет теорії ймовірностей

Домовимося такі поняття як дослід, експеримент, спостереження, вимір і т. п. об'єднати одним терміном випробування. Результатом випробування є деяка подія. Події називаються однорідними, якщо вони протікають в однакових умовах.

Приклад. Кидання монети – випробування, випадіння герба чи числа – подія. Стрільба у мішень – випробування, попадання в одну із її областей – подія.

Події, які ми спостерігаємо, можна поділити на три види: вірогідні, неможливі і випадкові.

Вірогідною називається подія, яка в результаті випробування обов'язково має відбутися.

Приклад. При нормальному тиску вода закипає при 100°C – вірогідна подія.

Неможливою називається подія, яка в результаті випробування не відбудеться.

Приклад. При нормальному тиску вода закипає при 80°C –неможлива подія.

Випадковою називається подія, яка у даному випробуванні може відбутися, а може і не відбутися.

Приклад. Кидаємо монету. Вона падає або гербом, або цифрою.

Тому подія "при киданні монети випадає цифра" – випадкова. Кидаємо гральний кубик, грані якого занумеровані від 1 до 6. Випадіння цифри "5" – подія випадкова.

У двох попередніх прикладах не можна передбачити, що відбудеться у кожному з цих випробувань. Та теорія ймовірностей і не ставить перед собою задачу вивчати поодинокі явища. Вона не спроможна зробити це.

Але, якщо монету підкидати достатньо велику кількість разів (декілька тисяч), то можна стверджувати, що приблизно половину разів випаде "герб", а половину – цифра.

З'являється вже деяка закономірність у випадкових однорідних випробуваннях.

Наведемо ще такий приклад. Важко сказати, хто народиться у даному конкретному випадку – хлопчик чи дівчинка. Але спостереження показали, що в усьому світі на кожні 1000 народжень припадає 514 хлопчиків. Знову з'являється закономірність у масових однорідних явищах.

Отже, предметом теорії ймовірностей є вивчення закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Знання закономірностей, яким підкоряються випадкові події, дозволяє передбачувати, як ці події будують відбуватися у подальшому.

Частина і. Випадкові події. Основні поняття теорії ймовірностей

1.1. Класифікація випадкових подій і безпосередній підрахунок ймовірності

Дві події називаються несумісними, якщо в результаті випробування поява однієї з них виключає появу іншої.

Декілька подій називаються несумісними у даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу решти.

Приклади

1. Якщо виготовлена деталь, то вона може бути стандартною або нестандартною. Ці дві події несумісні.

2. Кидаємо гральний кубик. Одноразове випадання цифр 1, 2, 3, 4, 5 і 6 – події несумісні.

Події у деякому випробуванні називаються рівноможливими (рівноймовірними), якщо в силу симетрії випробування жодна з них об'єктивно не може бути більш можливою, ніж будь-яка інша. Поява герба і цифри – рівноможливі події. Вважаємо монету симетричною. Теж саме відноситься до появи цифр 1–6 на гранях кубика.

Декілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування хоча б одна із них відбудеться.

Випадіння герба і випадіння цифри – повна група подій. Поява білої кульки і поява чорної кульки з урни, в якій декілька чорних і білих кульок – утворюють повну групу подій.

Події, які утворюють повну групу і є несумісними і рівоможливими, називаються випадками або шансами.

Випадок називається сприятливим для деякої події, коли поява цього випадку викликає появу даної події.

Події будемо позначати буквами А, В, С, ...

Приклад. При киданні грального кубика можливі шість випадків: поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тоді для події А – поява парного числа очків – сприятливими є три випадки – 2, 4, 6.

Класичне визначення ймовірності подій.

Ймовірністю події А називається відношення числа випадків m, що є сприятливими для події А, до числа n всіх випадків. Якщо цю ймовірність позначити через P(A), то

P(A)= m/n, (1)

де P(A) – ймовірність події А, n – число випадків взагалі, m – число випадків, що сприяють появі події А.

Так як число сприятливих подій завжди міститься між 0 і n (0 – для неможливих подій і 1 – для вірогідної події), то ймовірність випадкової події, обчислена за формулою (1), завжди є раціональний дріб

0 < P(A) < 1.

Ясно, що ймовірність неможливої події Р(А) = 0, вірогідної Р(А) = n/n = 1.Тоді ймовірність будь-якої події

0  P(A)  1.

Приклади безпосереднього підрахунку ймовірності:

1. Визначити ймовірність випадання парного числа очків при киданні грального кубика.

Всього випадків 6: випадіння очків 1, 2, 3, 4, 5, 6.Сприятливих

події А = {випадіння парного числа очків} – три (2, 4, 6), отже

Р(А)= 3/6 = 1/2.

2. Монету кидають двічі. Яка ймовірність того, що хоча б один раз з'явиться "герб".

Вважаємо для простоти, що монети підкидаємо одноразово. Можливі наслідки

герб – цифра

цифрa – герб

цифра – цифра

герб – герб

Наслідків 4, сприятливих – 3,

Р(А)= 3/4.