21.Єдиність границі числової послідовності. Обмеженість числової

послідовності. Монотонної послідовності.

Питання 22

Послідовність { }називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатнього числа ε, можна вказати таке натуральне число N, що при n≥N, всі елементи { } задовольняють нерівність | |<ε

Основні властивості нескінченно малих послідовностей[ред. • ред. код]

1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

2. Різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

3. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

4. Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є нескінченно мала послідовність.

5. Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу c, то це число рівне нулю. ( c=0 )

6. Якщо елементи { } нескінченно великої послідовності відмінні від нуля, то послідовність { } є нескінченно малою.

7. 2.5. Основні теореми про границю

8.  

9. Теорема 2.11. Границя сталого дорівнює сталому, тобто

10. , де  .

11. Доведення. Нехай  , де  . Розглянемо різницю  , маємо:   – нескінченно мала величина. За теоремою 2.4 маємо, що  .

12.  

13. Теорема 2.12. Границя суми дорівнює сумі границь.

14.  

15. Доведення. Нехай, наприклад,  ,  . Покажемо, що  . Дійсно

16. ;

17.  

18. .

19.  

20. За   оберемо   та оцінимо модуль  , маємо:

21. .

22. Таким чином,

23.  

24. .

25. Зауваження. Випадок суми довільного скінченного числа числових послідовностей доводиться аналогічно.

26.  

27. Теорема 2.13. Границя добутку дорівнює добутку границь.

28.  

29. Доведення. Нехай, наприклад,  ,  . Покажемо, що  . Дійсно, якщо  , то за теоремою 2.3  , де   – нескінченно мала величина. Аналогічно,  , де   – нескінченно мала. Тоді

30.  

31. .

32.  

33. Оскільки константа є величиною обмеженою, то за теоремою 2.6 величини   є нескінченно малими; за теоремою 2.5 величина   також є нескінченно малою. Оскільки сума трьох нескінченно малих величин є нескінченно малою, то   є нескінченно мала і за теоремою 2.4.

34.  

35. Зауваження

36. 1)    Сталий множник можна виносити за знак границі.

37.  

38. Дійсно,

39. .

40.  

41.  

42. 2)  .

43. Дійсно,

44.  

45.  

46. 3)  .

47.  

48.  

49. Теорема 2.14. Границя частки двох послідовностей дорівнює частці границь цих послідовностей, якщо границя знаменника не дорівнює нулю, тобто

50. , де  .

51.  

52.  

53. Зауваження. Доведення даної теореми проводиться аналогічно доведенню теореми 2.13.

54.  

55. Теорема 2.15.

56. 1)  , де  ;

57. 2)  , де  .

58. Теорема 2.16. Якщо для послідовності   відомо, що для всіх     і  , то  .

59. Доведення. Проведемо доведення методом від супротивного. Нехай  , але тоді   і  . Остання рівність суперечить умові теореми. Це означає, що наше припущення хибне і  .

60.  

61. Теорема 2.17. Якщо для послідовностей   та   відомо, що  , то  .

62. Доведення. За умовою теореми  , тоді за теоремою 2.16

63.  

64. .

65.  

66. Теорема 2.18. .

67.  

68. Запам’ятай добре! Аналогічні теореми мають місце для границь функцій в точці.

Питання 24

Лемма о двух милиционерах — лемма в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция   такая, что   для всех   в некоторой окрестности точки  , причем функции   и   имеют одинаковый предел при  , то существует предел функции   при  , равный этому же значению, то есть