2.5.2 Анализ невязок

Невязки – это характеристики приближения аппроксимируемой (экспериментальной) и аппроксимирующей (рас­четной) функций. Чем меньше значения невязок, тем больше две функции со­впадают; чем чаще меняется знак невязок, тем более центрирован­ной и более правдоподо­бной является аппроксимирующая СХП. Мера приближения расчетной и экспериментальной функций СХП – оценка дисперсии условных уравнений:

где _j – невязка в j-й точке диапазона измерения;

n – число точек диапазона;

m – число искомых неизвестных в системе нормальных уравнений.

Необходимо рассчитать допустимую дисперсию коэффициентов модели, полученных по избыточному количеству условных уравнений:

где и – алгебраические дополнения элементов и , полученные путём исключения из основного определителя строки и столб-ца с указанным элементом.

Если значения невязок (следовательно, дисперсия) большие, то очевидно, что выбранная линейная модель СХП не вполне адекватна экспериментальной характеристике. В таком случае следует задаться полиномом более высокой степени (иссле­довать нелинейную модель), например полиномом второго порядка y = a + bx + сх², и повто­рить вычисления. При этом нормальные уравнения будут иметь вид

Решив систему методом определителей, найдём оценки коэффициентов

Далее необходимо представить уравнение модели аппроксимирую-щего полинома СХП второй степени, определить значения аппроксими-рующей СХП, результаты занести в таблицу, аналогичную табл. 2.11.

Аналогично оценим характеристику разброса коэффициентов а, b и c в виде соответствующих дисперсий:

где – главный определитель условных уравнений;

– алгебраические дополнения элементов , и , полученные путем удаления из матрицы главного определителя столбца и строки, на пересечении которых находится данный элемент, т.е.

Из двух (или более) полиномов необходимо выбрать тот, который характеризуется более эффективной оценкой дисперсии (меньшей по значению), и принять его в качестве теоретической модели СХП.

Средние квадратические отклонения определяют вероятную погрешность полученных значений оценок коэффициентов , , с и могут быть использованы для вычисления доверительных интервалов и неопределенностей (см. разд. 3) оценок этих коэффициентов с учетом идентифицированного закона распределения:

где – статистика Стьюдента, соответствующая выбранному значе­нию доверительной вероятности и числу степеней сво­боды (см. табл. П.Б.2);

– статистика Чебышева ;

– количество определяемых коэффициентов модели.

В соответствии с результатами аппроксимации на графике экспериментальной СХП построить график принятой теоретической СХП и показать области неопределенности коэффициентов модели.

2.6 Оценка погрешностей измерительного преобразователя

Для расчёта аддитивной и мультипликативной составляющих основ-ной погрешности ИП необходимо по результатам табл. 2.11 построить зависимость = f(U_вх) и по ее виду установить вид полинома, которым можно аппроксимировать эту зависимость. Применяя метод наименьших квадратов и принцип наибольшего правдоподобия, определить коэффици-енты модели а* и b* (см. подразд. 2.5.1, 2.5.2), границы доверительных интервалов и неопределенность типа В (см. подразд. 3.3).

На графике = f(U_вх) показать экспериментальную и теоретическую характеристики погрешностей и область неопределенности.

Основную относительную погрешность ИП оценивают по следующей за­висимости:

где – мультипликативная составляющая, которая характеризует изменение чувствительности СХП ИП;

– аддитивная составляющая погрешности, харак-теризующая смещение СХП в начале диапазона измерения;

D – диапазон измерения входного напряжения ИП;

– любое измеренное (или оцениваемое) значение в диапазоне.

Значения аддитивной и мультипликативной составляющих нормиру-ют, т.е. представляют в стандартной форме (округляют до ближайшего большего из стандартного ряда (см. подразд. 2.2)) и записывают в виде основной относительной погрешности ИП.

Если аддитивная и мультипликативная погрешности малы, то существенной может быть погрешность нелинейности, т.е. отклонение экспери-ментальной СХП ИП от теоретической. Погрешность нелинейности оцени-вают по наибольшему значению абсолютной или приведенной по­греш-ности ИП:

Эта оценка выражается в стандартной форме и будет завышенной, но гарантированной, так как появление бόльшей погрешности для средст-

ва измерения маловероятно.

Класс точности ИП характеризуется наибольшей возможной погреш-ностью в нормальных условиях эксплуатации ИП, которую необходимо выбрать из основной относительной, погрешности от гистерезиса, выра-женной в приведенной форме, и приведенной погрешности нелинейности.

Класс точности представляют нормированным числом, выбранным из стандартного ряда (см. подразд. 2.2), округлив принятое значение соответствующей погрешности до ближайшего большего стандартного значения.