3.1.1 Неопределенности типа а

В результате обработки многократных наблюдений методами мате-матической ста­тистики можно получить меру их рассеяния вокруг оценки ожидаемого значения, при­нимаемой за результат измерения. В качестве оценки меры рассеяния результатов наблюдений берут эксперимен­-тальное стандартное отклонение, называемое стандарт­ной неопре-деленностью типа А.

Стандартную неопределенность типа А оценивают для имеющегося (идентифицированного) закона распределения измеряемой величины. Экспе­риментальную дисперсию s², характеризующую составля­ющую не-определенности, получаемую в результате оце­нивания по типу А, вычис-ляют из рядов повторных наблюдений, она и является статистической оценкой дис­персии. Экспериментальное стандартное отклонение опреде-ляют как положительное значение квадратного корня из диспер­сии, обо-значают s и называют стандар­тной неопределенностью типа А.

Таким образом, для оценивания стандартной неопре­деленности по типу А необходимо выполнить n незави­симых наблюдений измеряемой величины Х в условиях повторяемости (так называемое апостериорное оценивание после проведения серии измерений). Отдельные наблюдения x_i отличаются по значениям из-за случайных изменений влияющих вели-чин или случайных эффектов, т.е. содержат случайные погрешности.

В большинстве случаев наилучшая оцен­ка ожидаемого значения μ величины Х, изменяющейся случайным образом, – среднее арифме-тическое значение из n наблюдений:

(3.1)

Экспериментальную дисперсию наблюдений, оценивающую дисперсию σ² распределения вероятностей Х, получают как

(3.2)

Оценка дисперсии выборки – положительный квадратный корень , называемый экспериментальным стандартным отклонени-ем, характеризует изменчи­вость наблюдаемых значений или их рассе-яние относительно среднего значения [2] .

Поскольку за результат многократных измерений при­нимают среднее значение , то важно оценить и его дис­персию. Наилуч­шая оценка дисперсии среднего значения выражается как

(3.3)

Оценка дисперсии среднего значения в n раз меньше оценки дисперсии результата отдельного наблю­дения.

На практике стандартная неопределенность среднего зна­че­ния более удобна, чем оценка дисперсии, по­скольку имеет ту же самую раз-мерность, что и измеряемая величина. Она равна положительному квадратному корню из оценки дисперсии (3.2) и её рас­считывают по формуле

(3.4)

3.1.2 Неопределенности типа в

Стандартную неопределенность типа В оценивают исходя из предпола­гаемой функции плотности вероятностей, осно­ванной на степени уверенности в том, что событие про­изойдет. Для составляющей не­определенности, полученной по типу В, оцениваемую дис­персию и² (х) вычисляют, используя имеющиеся данные (выпол­няют априорное оценивание без проведения измерений). Оцененное стандартное отклонение и(х) получают как положительный квадрат­ный корень из дисперсии и назы­вают стандартной неопределен­ностью типа В [2].

Оценка неопределенности по типу В обычно основы­вается на фонде сравнительно надежной информации.

Фонд информации включает в себя:

– данные предварительных измерений;

– данные, полученные в результате опыта, или об­щие знания о поведении и свойствах соответству­ющих объектов, материалов и приборов;

– спецификацию изготовителя;

– данные, приведенные в свидетельствах о ка­либровке и других сертификатах;

– неопределенности, приписываемые справочным данным.

Для удобства и²(х) и и(х), оцененные таким обра­зом, иногда называют дисперсией типа В и стандартной неопределенностью типа В.

Примеры оценивания неопределенности типа В приведены в работе [2]. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1

Свидетельство о калибровке утверждает, что масса эталона из нержавеющей стали с номинальным значением один килограмм со­став­ляет 1000,000325 г и что «неопределенность этого значения равня­ется 240 мкг на уровне трех стандартных отклонений». Тогда стан­дартная неопределенность эталона массы есть 240/3 = 80 мкг.

Если оценку х выбирают из спецификации изготовителя, сви­детельства о поверке, справочника или другого ис­точника, а неопределенность оценки представлена как некоторое крат­ное стандартного отклонения, то стандартную не­определенность u(х) можно при­нять равной указанному значению, деленному на множитель, а оцененная диспер­сия u²(х) будет равна квадрату этого частного.

Пример 2

Приведенная неопределенность величины х необяза­тельно приводится в виде кратного стандартного отклонения. Вместо этого можно встретить ссылку на то, что она опре­деляет интервал, имеющий 90, 95 или 99-процентный уро­вень доверия. Если не ука­зан вид распределения, то можно предположить, что для вычисле­ния упомянутой не­определенности использовали нормальное распределение. Тогда стандартную неопределенность для х полу­чают деле­нием половины приведенного интервала на соответст­вующие коэффициенты охвата для нормального распределения, которые для указанных выше уровней доверия составляют 1,64; 1,96 и 2,58.

Пусть в свидетельстве о калибровке сопротивле­ние эталонного резистора номинального значения 10 Ом: 10,000742 Ом ± 129 мкОм при 23° С и упомянутая неопределен­ность 129 мкОм определяет интервал, имеющий 99-процентный уровень доверия. Стандартную неопределенность резистора можно принять такой: 129/2,58 = 50 мкОм.

Пример 3

В некоторых случаях можно оценить только верхний и нижний пределы для измеряемой величины х. Напри­мер, можно утвер­ждать, что вероятность того, что значе­ние х находится в ин­тервале от а_- до а₊, равна единице. Если нет конкретных сведе­ний о значениях х внутри указанного интервала, то можно только предположить, что х может находиться в любом месте в пределах этого интервала с оди­наковой вероятностью (т.е. рас­пределение равно­мерное), функция плотности вероятности которого изображена на рис. 3.2.

Аналитическое выражение данной функции имеет такой вид:

(3.5)

а ожидаемое значение и дисперсия

Рисунок 3.2 – Функция плотности вероятности равномерного

распределения

Если разность между границами а_- и а₊ обозначить как 2а, то из уравнения дисперсии полу­чаем

Допустим, в справочнике указано значение температурного коэф­фициента линейного расширения чистой меди при температуре 20°С α₂₀ = 16,52·10^-6 ºС^-1 и утверждается, что погрешность этого значения не должна превышать 0,40·10^-6 ºС^-1. Основываясь только на этой информации, можно предположить, что значение α₂₀ находится с равной вероятностью в интервале от 16,12·10^-6 ºС^-1 до 16,92·10^-6 ºС^-1, а вероятность пребыва­ния α₂₀ за пределами этого интервала мала. Диспер­сия этого симметричного прямоугольного распределения возмож­ных значений α₂₀: u²(α₂₀) = (0,4·10^-6)²/3 = 55,3·10^-15 ºС^-2, а стан-дартная неопределенность u(α₂₀) = (0,4·10^-6)/3^1/2 = 0,23·10^-6 ºС^-1 .