Формула для обчислення скалярного добутку векторів, які задані своїми координатами в ортонормованому базисі

Завдання 1. В ортонормованому базисі відомі координати двох векторів і . Потрібно визначити скалярний добуток цих векторів.

Розв’язання. Знаючи координати векторів і у базисі , можна представити ці вектори єдиним образом у вигляді лінійних комбінацій базисних векторів , . Враховуючи властивість 4 скалярного добутку векторів і рівності (6.1), одержуємо

.

Отже, якщо базис ортонормований, то скалярний добуток двох векторів і можна визначити за формулою

. (6.2)

Одержана формула і є шуканою формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які задані своїми координатами в ортонормованому базисі.

Завдання 2. В ортонормованому базисі відомі координати вектора . Потрібно визначити його довжину.

Розв’язання. За властивістю 2 скалярного добутку довжина вектора дорівнює . Враховуючи, що та той факт, що в ортонормованому базисі справедлива формула (6.2) для обчислення скалярного добутку, одержимо

. (6.3)

Завдання 3. Написати умову ортогональності ненульових векторів і , якщо їх координати задані в ортонормованому базисі.

Розв’язання. Якщо вектори та – ортогональні, то за означенням скалярного добутку . Враховуючи формулу (6.2), одержимо необхідну умову ортогональності векторів та :

(6.4)

Це умова на підставі властивості 5 скалярного добутку є й достатньою умовою ортогональності розглянутих векторів.

Завдання 4. В ортонормованому базисі задані координати векторів і . Визначити кут між цими векторами, враховуючи, що та .

Розв’язання. Позначимо через кут між векторами та . Нагадаємо, що . За означенням скалярного добутку , а за формулою (6.2) . Отже,

.

Приймаючи до уваги, що та що довжина вектора може бути визначена за формулою (6.3), приходимо до висновку, що

.

Завдання 5. Знайти проекцію вектора на вісь із ортом .

Розв’язання. Відомо, що скалярна проекція вектора на вісь обчислюється за формулою , де – кут між векторами та . З іншого боку, . Отже

.

Нехай в ортонормованому базисі вектор має координати . Вектор має очевидно, такі координати . Згідно з одержаною формулою (завдання 5) . Аналогічно . Таким чином, координати вектора в ортонормованому базисі дорівнюють проекціям вектора на осі з ортами .

§ 3.7. Векторний і подвійний векторний добуток векторів

Означення 3.7.1. Векторним добутком двох ненульових векторів та називається вектор , довжина якого , де – кут між векторами і . Якщо , то вектор перпендикулярний векторам та і спрямований так, щоб трійка векторів була правою (рис.3.6). Векторний добуток векторів і позначають так: або . Якщо або , то вважають .

Рис.3.6. Права трійка векторів

Приклад. Нехай – правий ортонормований базис (рис.3.5 а). Визначити

, .

Розв’язання. Скориставшись означенням векторного добутку векторів, одержимо

. (7.1)

Перейдемо до опису властивостей векторного добутку.

Властивість 1. Векторний добуток тоді й тільки тоді, коли вектори та колінеарні.

 : Нехай , тоді можливі такі випадки:

1) хоча б один з векторів або є нульовим;

2) кут між двома ненульовими векторами та дорівнює або .

В обох цих випадках вектори та колінеарні.

: Нехай тепер і – колінеарні, тоді кут між ними дорівнює або , або один з векторів нульовий, тому .

Властивість 2. Векторний добуток – антикомутативний, тобто для будь-яких векторів та :

.

 Твердження очевидно, якщо та – колінеарні вектори. Нехай і – неколінеарні, отже, і не рівні (нагадаємо, що нульовий вектор є колінеарним будь-якому вектору тривимірного векторного простору). Модулі векторів і , очевидно, рівні. Кожен з них перпендикулярний векторам і . Тому вектори та колінеарні. Якщо трійка векторів права, то трійка – ліва і навпаки, тому , тобто .

Властивість 3 [2]. Для будь-яких векторів та та для будь-якого дійсного числа вірні рівності:

.

 

Властивість 4 [2]. Для будь-яких векторів та вірні рівності:

.

 

Із двох останніх властивостей векторного добутку випливає, що звичайними правилами розкриття дужок можна користуватися при обчисленні векторного добутку лінійних комбінацій векторів, наприклад:

.

Відзначимо, що модуль векторного добутку має простий геометричний зміст.

Властивість 5 (геометричний зміст векторного добутку). Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах та , початки яких розміщено в одній точці: .

Рис.3.7. Геометричний зміст векторного добутку

Дійсно, площа паралелограма , побудованого на неколінеарних векторах і обчислюється за відомою з курсу елементарної математики формулою: . За цією самою формулою визначається і модуль векторного добутку . 