О внутренней геометрии поверхности.
Многие характеристики поверхности не меняются при её изгибании.
Def. К внутренней геометрии поверхности относятся те понятия и факты теории поверхностей, которые не меняются при изгибании поверхности.
Def. Внутренняя геометрия гладкой поверхности изучает такие понятия и факты, которые определяются только 1-й квадратичной формой поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности (метрика поверхности).
Def.
Первой квадратичной формой поверхности
Ф называется квадрат полного дифференциала
вектор-функции
Линейный элемент
y+
y
(x,y)
x
x+
А
y
ффинная система координат:
x
O
Рассмотрим регулярную поверхность.
v
u
Q
r = r(u,v)
Найти
расстояние
для криволинейного
.
При
малом
смещении т. криволинейный треугольник
можно рассматривать как прямолинейный
(длина дуги
хорде стягивающей эту дугу).
Тогда
Если поверхность задана векторной параметризацией: r = r(u,v), то
Учитывая,
что
и введя обозначения
и
получим:
(1)
Замечание 1. Выражение в 1-й части уравнения (1) называют: первая основная гауссовская квадратичная дифференциальная форма.
Замечание 2. Первая квадратичная форма представляет двумерный вариант метрики поверхности. Метрика не определяет однозначно форму поверхности.
Приложения 1-й квадратичной формы.
Форма дает возможности: 1) вычислить расстояние или длины дуг на поверхности;
2) вычислить углы между линиями на поверхности;
3) вычислить площадь фигур на поверхности.
Геометрический смысл коэффициентов 1-й квадратичной формы.
u
Q1
Q
M
v
квадрат
производной дуги координатной линии
и по её же параметру.Аналогично
.
знак
F
зависит от
.
Замечание.
угол между координатными линиями на
поверхности.