12. Коливання пружних систем.

Теоретичні відомості

Залежно від характеру сил, що підтримують коливання, вони поділяються на власні та вимушені.

Власні коливання відбуваються в системі лише за рахунок внутрішніх сил і викликаються відхиленнями системи в початковий момент часу. Такі коливання є затухаючими.

Вимушені коливання відбуваються за рахунок зовнішніх збурюючих сил, або переміщень опор системи — кінематичне збудження.

Число ступенів вільності - кількість незалежних параметрів, які визначають положення мас системи в кожен даний момент часу. В даному завданні розглядаються коливання сис­теми з одним ступенем вільності.

Залежно від напрямку коливань розрізняють поздовжні, поперечні та крутильні коливання.

Вільні коливання системи з одним ступенем вільності без згасання (сили опору малі і в увагу не беруться) відбуваються по гармонійному закону з власною частотою 

, (12.1)

де x - узагальнена координата, амплітуда А і початкова фаза α визначаються з початкових умов при t = 0. Кругова частота власних коливань визначається по формулі

(12.2)

де с – жорсткість системи, що коливається, _ст - статична деформація під дією вантажу вагою Q.

Лінійна частота — число коливань в секунду, а також період власних ко­ливань визначаються по формулах

. (12.3)

Хай на систему з одним ступенем вільності діє сила

(12.4)

Тоді в системі встановлюються коливання з частотою, що співпадає з частотою зовнішньої сили p:

, (12.5)

де x_o , x_a - статичні відхилення системи від положення статичної рівноваги під дією сил Р и Р_а відповідно.

Коефіцієнт зростання амплітуди рівний

(12.6)

У випадку, коли частота власних коливань збігається з частотою збурюючої сили, настає резонанс, при якому коефіцієнт β і амплітуда А необмежено зростають.

Рекомендації до розв’язання задачі №12

1. При визначенні частоти власних коливань необхідно враховувати, що статична деформація для коливальних систем з одним ступенем вільності обчислюються по різних формулах:

- для пружної системи (пружина з вантажем)

,

де с - жорсткість пружини, Q = mg - вага вантажу;

- для стержня

;

- при поперечних коливаннях _ст являє собою прогин під вантажем Q при його статичній дії.

- при крутильних коливаннях частота власних коливань визначається по формулі:

.

Тут с – крутильна жорсткість вала, яка дорівнює

,

де d – діаметр стержня, l – довжина, G - модуль пружності 2 роду, J - момент інерції диска відносно стержня, перпендикулярного до площини диска.

2. Для визначення статичного прогину доцільно користуватися правилом Верещагіна.

Приклад розв’язання задачі №12

Посередині прольоту довжиною l = 4 м двотавро­вої балки на двох опорах (мал. 41) працює двигун вагою Q = 25 кН, що робить n₀ = 420 обертів за хвилину. З умови відстройки від резонансу  =1,3p підібрати відповідний двотавр. Враховуючи, що вага неврівноважених частин складає 25% від ваги двигуна, визначити допустимий екс­центриситет з умови міцності при [] = 160 МПа, E = 210⁵ МПа.

М ал. 41. Розрахункова схема задачі

Частота вимушених коливань визначається швидкістю обертання двигуна

.

Тоді частота власних коливань

.

Знаходимо необхідний момент інерції поперечного перерізу двотавра

З табл. 3 Додатку вибираємо двотавр №27а, що має характеристики

J_x = 5500 см⁴, W_x = 407 см³.

Власна частота вибраної балки і двигуна

що складає 1,293 від робочої частоти. Статичні напруження визначаємо по формулі

Додаткові динамічні напруження виникають від сили інерції

,

де 0,25 – коефіцієнт, що враховує вагу неврівноважених 25% від ваги двигуна,  - ексцентриситет, p – частота вимушених коливань.

Знаходимо коефіцієнт зростання амплітуди

Напруження знаходимо по формулі

Повне напруження дорівнює

Із умови міцності σ ≤ [σ], знаходимо допустимий ексцентриситет