Модуль 3

7. Складний опір: згин з крученням

Теоретичні відомості

Згин із крученням – це такий вид деформації бруса, при якому в його поперечних перерізах виникають згинальний і крутний моменти.

П ри згині з крученням в поперечних перерізах балки виникають п’ять внутрішніх силових чинників: поперечні сили Q_y і Q_z, згинаючі моменти M_у і М_z і крутний момент М_к = М_х. З наявністю цих моментів пов’язані напруження σ_зг і τ_к. При цьому матеріал стержня знаходиться в плоскому напруженому стані.

Мал. 20. Силові чинники при згині з крученням

В разі стержня круглого поперечного перерізу діаметром d дотичне напруження від поперечних сил Q_y і Q_z невелике, і при розрахунку його зазвичай не враховують.

Дотичне напруження від крутного моменту набуває максимальних значень τ_тах в усіх точках контуру перерізу

(7.1)

Найбільше нормальне напруження σ від згинальних моментів M_у і М_z має місце в двох точках (А і В) контуру перерізу. Ці точки лежать на кінцях діаметру, перпендикулярного вектору результуючого згинального моменту

(7.2)

а велична нормального напруження визначається за формулою

(7.3)

Еквівалентне напруження при згині з крученням має бути менше за напруження, що допускається [σ] (умова міцності) і визначається:

- за ІІІ теорією міцності (теорії Мора)

(7.4)

- за ІІІ теорією міцності

(7.5)

Рекомендації до розв’язання задачі №7

1. В першу чергу необхідно визначити зовнішні крутні моменти, прикладені до шківів.

2. Визначити зусилля в пасах шківів, після чого завантажити цими силами вал як двоопорну балку і визначити реакції опор в горизонтальній та вертикальних площинах.

3. За отриманими реакціями побудувати епюри згинальних моментів в обох площинах, а також сумарну епюру моментів та перевірити міцність вала за ІІІ і ІV гіпотезами.

Приклад розв’язання задачі №7

Вал трансмісії (мал. 21) обертається з кутовою швидкістю ω = 41 рад/с і передає потужність N = 70 кВт. Підібрати діаметр вала при допустимому напруженні [σ] = 80 МПа, округливши його величину до стандартного розміру. Зусилля в частині паса, що збігає, прийняти в два рази більше, ніж у тій, що набігає. Відстані на малюнку а = 1,2 м; b = 1,6 м; с = 1,2 м. Діаметри шківів D₁ = 1,0 м і D₂ = 0,8 м. Кути нахилу віток ременя відповідно α₁ = 30°, α₂ = 60°.

М ал. 21. Вал трансмісії

Визначаємо зовнішні закручуючі моменти, прикладені до шківів 1 і 2

Колові зусилля в частинах пасів, що набігають

К олові зусилля в частинах пасів, що збігають

В изначаємо горизонтальні складові поперечних сил, які згинають вал

В изначаємо вертикальні складові поперечних сил, які згинають вал

З авантажуємо цими силами вал як балку, що лежить на двох опорах, і знаходимо реакції від сил, які діють в горизонтальній площині

З находимо реакції від сил, які діють в вертикальній площині

Визначаємо згинальні моменти в перерізах під шківами 1 і 2:

- від дії горизонтальних сил

Мал. 22. Епюри моментів

- від дії вертикальних сил

Сумарні згинальні моменти в перерізах під шківами

Будуємо в довільному масштабі епюри згинальних моментів в горизонтальній та вертикальній площинах, епюру сумарних згинальних моментів та епюру крутних моментів (мал. 22).

З сумарної епюри видно, що найбільший згинаючий момент буде в перерізі під другим шківом. Цей переріз вважаємо за небезпечний. За третьою теорією міцності розрахунковий момент дорівнює

Визначаємо діаметр валу за заданим допустимим напруженням

О кругляємо одержаний розмір до стандартного, прийнявши його рівним