5. Решение типового варианта.
Задача № 1. Вычислить предел функции
а)
.
Решение. Воспользуемся свойством 6. Так как
и
,
то
.
б)
.
Решение.
Имеем неопределенность
.
Для ее раскрытия разделим числитель и
знаменатель на
:
.
в)
.
Решение. Здесь имеем дело с неопределенностью . Разложим числитель и знаменатель на множители:
,
,
,
,
,
,
.
.
Тогда
,
.
Получим
.
г)
.
Решение. Снова имеем дело с неопределенностью . Воспользуемся таблицей эквивалентности б.м.ф. при :
,
.
Тогда
.
Задача № 2. Найти производную данной функции
а)
.
Решение. Согласно свойствам 2 и 1, а также таблице производной, получим:
.
б)
.
Решение. Воспользуемся свойствами 2, 3 и 4:
.
в)
.
Решение. Здесь дана сложная функция. Поэтому, согласно формуле (2.1) получим:
.
г)
Решение.
Функция задана параметрически. Вычислим
сначала производные
и
:
,
.
По формуле (2.2)получим:
.
Задача № 3. Найти дифференциал заданной функции
.
Решение.
Согласно формуле (2.6) имеем:
.
Поэтому вычислим сначала производную
данной функции
.
Получим:
.
Задача №
4. Вычислить приближенно с помощью
дифференциала значение функции
в точке
.
Решение. По формуле (2.9) имеем: .
Примем
,
где
,
а
.
Найдем производную:
.
Тогда
.
Задача №
5. Написать уравнения касательной и
нормали к кривой
в точке с абсциссой
.
Решение.
Вычислим значение функции в точке
:
.
Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке :
,
.
По формуле (2.7) уравнение касательной принимает вид:
или
.
Согласно формуле (2.8) получим уравнение нормали:
или
,
что равносильно
.
Задача № 6. Найти производную второго порядка.
а)
.
Решение. Вычислим сначала :
.
А затем по формуле (2.3) получим:
.
б)
Решение. Вычислим :
,
.
Тогда по
формуле (2.2):
.
Найдем
производную
:
.
По формуле (2.5) имеем:
.
Задача № 7. а) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
б) Провести полное исследование данной функции и построить ее график.
,
.
Решение. а) Воспользуемся правилом, рассмотренным в п. 3.6. Найдем критические точки функции, принадлежащие отрезку :
,
при
,
– не существует при
.
Заметим, что
,
а
.
Вычислим значения функции во внутренней критической точке и на концах отрезка:
,
,
.
Из найденных значений выберем наименьшее и наибольшее:
,
.
б) Используем общую схему исследования функции, рассмотренную в п. 3.5.
1. Область
определения функции
.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат:
С Ох :
при
,
С Оу : если
,
то
– не существует.
Следовательно,
есть только одна точка пересечения с
осями –
.
3. Определим промежутки знакопостоянства функции.
Точки
и
разбивают
область определения на три интервала
знакопостоянства функции:
,
и
.
Определим знак функции на каждом
интервале:
,
,
.
4. Установим чётность функции.
.
Очевидно, что
и
,
следовательно, данная функция не
является чётной и не является нечётной,
т.е. является функцией общего вида.
5. Найдём асимптоты.
а) Вертикальные
асимптоты:
.
б) Наклонные асимптоты:
,
.
Так как
,
то и
.
.
Получили
– наклонная асимптота.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы.
В пункте (а)
мы нашли критические точки функции:
и
.
Эти точки разбивают область определения
на три промежутка монотонности:
,
и
.
Определим знак производной функции
на каждом интервале.
,
,
.
Следовательно,
при
– функция возрастает, а при
– функция убывает.
При переходе
(слева на право) через критические точки
производная меняет свой знак, но
,
поэтому функция имеет только одну точку
экстремума:
– точка max и
.
Таким образом:
– максимальная точка функции.
7. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
,
:
точек нет, т.к.
,
– не существует при
.
Определим
знаки второй производной на интервалах
и
.
На обоих интервалах
,
следовательно, на всей области определения
график функции вогнут, и точек перегиба
нет.
8. Построим график функции.
Рис. 1.