2.5. Задачи с параметрами

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

Пример № 1.

Решить урaвнение: asinx=1.

Решение:

При а=0 уравнение решений не имеет. При а≠0 sinx=1/а,

х= (-1)ⁿ arcsin1/a +πn, nєZ, │1/a│≤1, │a│≥1.

Ответ: х= (-1)ⁿ arcsin1/a+рn, nєZ при ає(-∞;-1]U[1;+∞);

нет решений при ає(-1;1).

Пример № 2.

Решить уравнение: 2sin²x-(2a+1)sinx+a=0.

Решение:

запишем уравнение в виде sin²x-(a+1/2)sinx+a∙1/2=0.

По теореме Виета sinx=1/2 или sinx=а.

Множество решений первого уравнения х= (-1)ⁿ π/6+πn, nєZ;

второе уравнение имеет решения х= (-1)^к arcsina +πк, кєZ только при │а│≤1.

При а=1/2 уравнение имеет только одну серию решений.

Ответ: х= (-1)ⁿ π/6+πn, х= (-1)^к arcsina +πк, n,кєZ при │а│≤1.

х= (-1)ⁿ р/6+рn, nєZ при ає(-∞;-1)U(1;+∞).

2.6. Решение тригонометрических неравенств

Карточка-инструкция.

Для того чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство cosx<a ( cosx>a) [или sinx>a (sinx<a)]с помощью единичной окружности нужно:

1) отметить точку а на оси абсцисс [ординат] и провести через неё прямую, перпендикулярную этой оси;

2) отметить на окружности дугу, состоящую из всех точек, абсцисса [ордината] которых удовлетворяет данному неравенству. Эти точки расположены по одну сторону от проведённой прямой;

3) записать один числовой промежуток, все точки которого заполняют отмеченную дугу, и, прибавив к его концам 2Пn, n Z, получить общее решение;

4) записать ответ.

а) Выполнить тест (см. Приложение 1)

б) Зачёт по теме "Решение тригонометрических уравнений и неравенств".

1. 2sin2x+3sinx-2=0	2. 2cos2x-5cosx+2=0
3. 2sin2x+sinx-1=0	4. 4cos2x+9cosx+5=0
5. sin2x+ 3cosx-3=0	6. sin2x+sinx cosx=0
7. sin2x+sinx cosx-2cos2x=0	8. sin2x=3sinx cosx
9. sin2x+2sinx cosx-3cos2x=0	10. 3sin2x+2sinx cosx-2cos2x=0
11. sin2x-4sinx cosx+3cos2x=0	12. √3 sin xcos x+ cos2x=0
13. sin2x+sin2x=3cos2x	14. √3cos2x=sinx cosx
15. 3sinx cosx-sin2x=0	16. sin12x+sin4x=0
17. cosx=cos5x	18. sinx+cosx=1
19. sin3x=sin17x	20. √3 cosx-sinx=1
21. sin2x>1/2	22. cos3x<√3/2
23. sin(x-п/4) <√2/2	24. cos(x+п/3) >1/
25. tg(2x-п/4) <√3

Приложение 1

Задание 1 вариант: cosx≤√2/2

Задание 2 вариант: sinx≥1/2

Ответ № 1

π/4+2πn≤x≤7π/4+2πn, .

Ответ № 2

π/6.+2πn≤x≤5π/6+2πn,

Ответ № 3

, ,

π/4.+2πn≤x≤3π/4+2πn,

Ответ № 4

.

π/3.+2πn≤x≤2π/3+2πn,

Задание 1 вариант: tgx≤1

Задание 2 вариант: cosx<√2/2

Ответ № 1

π/4.+2πn≤x≤3π/4+2πn,

.

Ответ № 2

3π/4+2πn<x<5π/4+2πn,

,

Ответ № 3

-π/2+ πn<x≤π/4+πn,

Ответ № 4

π/4+ πn≤x<π/2+πn,

Задание 1 вариант: 2cosx+1≥0

Задание 2 вариант: 2tgx-√2≥0

Ответ № 1

π/4.+ πn≤x<π/2+πn,

.

Ответ № 2

-π/3.+2πn≤x≤π/3+2πn,

Ответ № 3

, -2π/3.+2πn≤x≤2π/3+2πn,

Ответ № 4

π/4+ πn≤x<π/2+πn,

Задание 1 вариант: ctgx<-√3

Задание 2 вариант: ctgx≥-1

Ответ № 1

-π/4+πn≤x<π+πn,

.

Ответ № 2

5π/6+πn<x<π+πn,

Ответ № 3

, -

πn<x≤3π/4+πn,

Ответ № 4

-π/6+πn<x<π+πn,

Решение тригонометрических неравенств (тест)

Ответы: 1 вариант-1332, 2 вариант- 2243

8