2. Диференціальне рівняння одномірної задачі теорії фільтраційної консолідації

Дозволяє сформувати задачу про протікання в часі осідань повністю водонасиченого шару ґрунту під дією суцільного рівномірно-розподіленого навантаження в умовах односторонньої фільтрації води.

В початковий момент часу ґрунтова маса знаходиться в статичному стані, тобто поровий тиск рівний 0 ( ).

Для будь-якого моменту і на будь-якій глибині :

В перший момент часу зовнішній тиск повністю передається на порову воду (при умові її нестискаємості), а в наступні проміжки часу тиск у воді буде зменшуватись, а в скелеті ґрунту буде збільшуватись до тих пір, поки все навантаження не передасться на скелет ґрунту (див. рис.).

Припустимо, що зміна витрати води, що витісняється з пор, визначається законом фільтрації, а відповідна зміна пористості – законом ущільнення.

Відокремимо елементарний шар ґрунту на глибині . В цьому шарі збільшення витрати води дорівнює зменшенню пористості у відрізок часу :

(1)

Це співвідношення було складено в 1925 р. К. Терцагі і являється частковим випадком умови нерозривності просторової задачі руху ґрунтових вод, що запропонував у 1922 р. акад. Павловський Микола Миколайович.

Для лівої частини рівняння (1), враховуючи напрям руху порової води, за законом фільтрації:

, звідки (2)

Враховуючи, що напір у воді і

отримаємо

(3)

Підставляючи (3) у (2), маємо

(4)

Для правої частини (1), враховуючи, що , і нехтуючи в знаменнику цього виразу зміненням коефіцієнту пористості у порівнянні з одиницею, взявши деяке його середнє значення , отримаємо:

За законом ущільнення:

, тоді (5)

Оскільки (коефіцієнт відносного стиснення), то підставляючи (4) і (5) в (1), будемо мати:

, де – коефіцієнт консолідації ґрунту.

Консолідація ґрунту – зміна об'єму ґрунту внаслідок дії на нього певний час навантаження.

(6)

Розв´язання цього рівняння (6) знаходиться шляхом застосування рядів Фур’є.

Для випадку рівномірного (в стабілізованму стані) розподілення ущільнюючих тисків по глибині розв´язання рівняння (6) може бути представлене у вигляді:

(7)

де .

Найбільше для практики значення має застосування цього розв´язання для визначення осідання шару ґрунту для будь-якого проміжку часу від початку завантаження .

Для визначення цієї величини введемо поняття про ступінь консолідації.

; s - повне стабілізоване осідання.

можна виразити як площу епюри в момент часу , тоді:

; hm_vp - осідання шару ґрунту при суцільному навантажені.

Підставивши замість вираз (7), для основного випадку розподілення ущільнюючих тисків отримаємо:

(8)

Д ля основного випадку, що розглядається ( ):

(9)

Задачу з визначення простіше вирішувати у зворотному порядку: задаються ступенем консолідації і за формулою (8) визначають (складені спеціальні таблиці), а потім визначають відповідне

Хід розв´язання

1. Визначаємо повне стабілізоване осідання .

2. Задаємося і за таблицями знаходимо .

3. Визначаємо .

4. Визначаємо для різних

5. Будуємо графік залежності

Задача фільтраційної консолідації розв’язана і для плоскої, і для просторової і для вісесиметричної задач.