Тема 1. Оценка погрешности вычислений Вопросы для самоподготовки:

1. Этапы решения задачи на ЭВМ

2. Абсолютная и относительная погрешности

3. Значащие цифры в записи числа

4. Правила округления чисел

5. Верные цифры. Верная цифра в строгом смысле

6. Нахождение абсолютной погрешности при простейших арифметических действиях и вычислении элементарных функций

7. Систематический учет погрешностей при вычислениях

8. Метод подсчета цифр при определении погрешностей

9. Метод границ определения погрешности

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Под погрешностью понимается величина, характеризующая точность результата. Различают три основных вида погрешностей:

1) Погрешность задачи – связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а также ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные числа (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

2) Погрешность метода – связанна со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как к устранимой (или условной).

3) Погрешность действий обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники (если, разумеется, не используются специальные программные средства, реализующие, например, арифметику рациональных чисел).

Эти погрешности в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Первый тип погрешности служит ориентиром точности, с которой следует рассчитывать математическую модель. Нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределимостью исходных данных, т.е. погрешность метода подчиняют погрешности задачи. Так как при выводе оценок погрешностей численных методов обычно исходят из предположения, что все операции над числами выполняются точно, то погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода. Влияние погрешностей округлений не следует упускать из вида ни на стадии отбора и алгоритмизации численных методов, ни при выборе вычислительных и программных средств, ни при выполнении отдельных действий и вычислении значений функций.

1. Вычислительная погрешность.

Рассмотрим процесс округления чисел, записанных в десятичной системе. Оно производится по правилу первой отбрасываемой цифры:

• если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения;

• если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

• если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

• если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней, – нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остаётся без изменения, если – чётная.

Это правило округления обеспечивает увеличение абсолютной погрешности не более, чем на половину последнего сохраняемого разряда.

При округлении целого числа отброшенные знаки не следует заменять нулями, надо применять умножение на соответствующие степени 10. Например: если число c=250331 надо округлить до пяти десятичных знаков после запятой, то имеем c*=2.5 10⁵.

В основе процессов округления лежит идея минимальности разности числа и его округлённого значения.

Поведение вычислительной погрешности зависит от правила округлений и алгоритма численного решения задачи.