2. Перевод чисел из одной системы в другую

Поскольку для представления вводимой в ЭВМ и выводимой из нее информации используются, как правило, недвоичные системы счисления, то возникает необходимость в алгоритмах перевода чисел из одной системы в другую. Правила перевода для целых и дробных чисел различаются. В качестве примера рассмотрим перевод целых чисел.

1. Перевод целых чисел

Правило. Целое число A(N₁), представленное в системе счисления с основанием N₁ переводится в систему счисления с основанием N₂ путем последовательного деления числа A(N₁) на основание N₂, записанное в системе счисления с основанием N₁, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание N₂ и этот процесс следует повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Получаемые остатки от деления и последнее частное, записанное в системе счисления с основанием N₂ является значениями разрядов в порядке возрастания.

Пример. Найти двоичное представление для числа А₍₁₀₎ = 43₍₁₀₎ =

= к₅к₄к₃к₂к₁к₀ - искомое двоичное представление 43₍₁₀₎ = 101011₍₂₎

_43 2

42 _21 2

k₀ = 1 20 _10 2

k₁ = 1 10 _5 2

k₂ = 0 4 _2 2

k₃ = 1 2 1 = k₅

k₄ = 0

3. Формы представления чисел в эвм

Совокупность разрядов, отведенных для представления двоичного числа, образует разрядную сетку ЭВМ. Количество разрядов в разрядной сетке называется длиной или разрядностью сетки. Обычно длина разрядной сетки совпадает с количеством разрядов ячейки ОЗУ и сумматора, составляющего основу АЛУ. В ЭВМ применяются 2 формы представления чисел – с фиксированной запятой (точкой) и с плавающей запятой (точкой). Запятая определяет границу между целой и дробной частями. Сопоставим эти формы по 2-м критериям:

1. диапазон представимых чисел

2. минимальное по модулю представимое число не = 0 (точность решения)

Сопоставление произведем на конкретном примере, когда длина разрядной сетки = 8. Сначала оценим эти характеристики для представления числа с фиксированной запятой. В этом случае для представления целой и дробной частей числа отводится строго определенное число разрядов. Пусть данном примере запятая фиксирована между 3-м и 4-м разрядами. Снизу проставлены веса разрядов.

8 7 6 5 4 3 2 1

Знак 2³ 2² 2¹ 2⁰ , 2^-1 2^-2 2^-3

Старший разряд отведен для представления знака, например, "+" кодируется 0, а "-" – 1. Тогда максимальное представимое число = 15б875(10), а диапазон представимых чисел определяется неравенством: -15,875₍₁₀₎  А₍₁₀₎  15,875₍₁₀₎ . Очевидно, что минимальное по модулю представимое число А = 0,125. Рассмотрим вторую форму представления чисел в ЭВМ, в основе которой лежит экспоненциальная запись числа:

^A(10) = ^mA₍₁₀₎*10 ^PA ₍₁₀₎ , где m_A – мантисса числа А, Р_А – порядок числа А. Например, 45₍₁₀₎ = 0,45*10² = 4,5 * 10¹ = 450 * 10^-1. В двоичной системе экспоненциальная запись числа имеет вид:

А(2) = m_A(2) * 2^PA(2). В этом случае любое число А характеризуется 2-мя числами m_A и P_A, которые и размещаются в пределах разрядной сетки ЭВМ. Оценим возможности этой формы представления для случая 8-разрядной сетки ЭВМ. Однако теперь в 8-ми разрядах сетки должны быть представлены 2 числа m_A и P_A. Причем каждый со своим знаком. Будем считать, что m_A <1. Тогда максимальному по модулю представимому числу соответствует максимальное значение мантиссы 0,111₍₂₎ = 0,875₍₁₀₎ и максимальное значение порядка +111₍₂₎ = +7₍₁₀₎, то есть Аmax = 112₍₁₀₎. В результате получаем диапазон представимых чисел: -112₍₁₀₎  A₍₁₀₎  112₍₁₀₎. Минимальное по модулю представимое число не равное 0, определяется минимальным по модулю значением мантиссы m_Amin = 0,125₍₁₀₎⁴. Min – значение порядка, равное – 7₍₁₀₎. В итоге получаем Amin = 0,125*2^-7 = 1/1024 = 0,001.

8 7 6 5 4 3 2 1

Знак P_A 2² 2¹ 2⁰ , Знак m_A,2^-1 2^-2 2^-3

Сравнивая полученные характеристики 2-х форм представления чисел, приходим к выводу о преимуществе представления чисел с плавающей запятой. Однако реализация в ЭВМ этой формы более сложна. В современных ЭВМ представление с фиксированной запятой используется только для целых чисел, и арифметические действия над ними выполняются центральным процессором. Вещественные нецелые числа представляются в ЭВМ в форме с плавающей запятой, и арифметические действия над ними выполняются специальным процессором – сопроцессором.