
- •Методические указания и контрольные задания по высшей математике
- •Методические указания и контрольные задания по высшей математике
- •Общие методические указания
- •Указания к выполнению контрольных работ Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Примеры решения задач
- •Тема 2. Основы векторной алгебры
- •Тема 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Тема 4. Элементы линейной алгебры
- •Тема 5. Введение в анализ
- •Тема 6 Производная и дифференциал
- •Тема 7. Исследование поведения функции
- •Тема 8. Неопределенный интеграл
- •Тема 9. Определенный интеграл
- •Тема 10. Приложения определенного интеграла
- •Тема 11. Функции нескольких переменных
- •Тема 12. Кратные интегралы. Криволинейный интеграл.
- •Тема 13. Ряды и их приложения.
- •Тема 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 15. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Тема 16. Основы теории вероятностей
- •Задачи для контрольных работ
- •Приложение
- •Литература
- •Содержание
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости 9
Тема 7. Исследование поведения функции
Пискунов, гл. V, § 1—5, упр. 1—11, 14, 17—20; § 6, упр. 32, 33; § 7, упр. 36, 39, 41—44, 46, 48; § 9, упр. 62—71; § 10, упр. 72—77; § 11 — 12, упр. 81—92, 94—97, 122, 123, 129, 134. Разберите решения задач 18— 20 из данного пособия.
Задача 18.
Исследовать функцию
и
построить ее график.
Решение:
1.
Определим область существования
функции. Квадратный трехчлен, стоящий
под знаком логарифма, можно представить
так:
.
Как видно, под знаком логарифма будет
положительное число при любом значении
аргумента х.
Следовательно,
областью существования данной функции
служит вся числовая ось.
2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.
3.
Установим четность и нечетность функции.
Так как
и
то
функция не является ни четной, ни
нечетной.
4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:
Знаменатель
для любого значения х.
Как
видно, при
первая производная отрицательна, а при
положительна. При х
= 3
первая производная меняет свой знак с
минуса на плюс. В этой точке функция
имеет минимум:
Итак,
А(3;
0)
— точка минимума (см. рис. 8). Функция
убывает на интервале
и возрастает на интервале
.
5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:
Разобьем
всю числовую ось на три интервала:
Как видно, в первом и третьем интервалах
вторая производная отрицательна, а во
втором интервале положительна. При х1
= 2 и
х2
= 4
вторая производная меняет свой знак.
Эти значения аргумента являются
абсциссами точек перегиба. Определим
ординаты точек:
Следовательно,
и
—
точки перегиба графика функции. График
является выпуклым в интервалах
и
,
и вогнутым в интервале (2,
4).
6
.
Определим уравнения асимптот графика
функции. Для определения уравнения
невертикальной асимптоты
воспользуемся
формулами:
Имеем
Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
Итак, кривая не имеет асимптот. График исследуемой функции показан на рис. 8.
Задача 19.
Исследовать функцию
и
построить ее график.
Решение: 1. Функция терпит разрыв при х=2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.
2.
Функция не является ни четной, ни
нечетной, так как
и
3.Исследуем
функцию на экстремум, используя второй
достаточный признак экстремума: если
в стационарной точке х0
вторая
производная отлична от нуля, то в этой
точке функция
имеет максимум при
и минимум при
Находим первую производную:
(1)
или
Как видно, первая производная равна нулю при х = 1 и х = 3 и не существует при х = 2. Так как при х = 2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную у":
Сократив
на
и
выполнив преобразования в числителе,
получим
(2)
Так
как
то
при х1
= 1 функция
имеет максимум. Так как
то
при х2
= 3
функция имеет минимум.
Вычислим значения функции в точках экстремума: y(1) = 3; у (3) = 7. Следовательно, А (1; 3) — точка максимума, В(3; 7) — точка минимума.
4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.
5. Определим асимптоты графика функции, х = 2 есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:
Следовательно,
– уравнение
наклонной асимптоты. График исследуемой
функции приведен на рис. 9.
Задача 20. Расстояние от центральной усадьбы совхоза до районного центра, расположенного у асфальтированной прямолинейной дороги, составляет 26 км (отрезок АВ на рис. 10), а кратчайшее расстояние от центральной усадьбы до этой дороги — 10 км (отрезок АС). Скорость велосипедиста на асфальтированной дороге равна 20 км/ч, а за ее пределами — 12 км/ч. Найти минимальное время, в течение которого велосипедист преодолеет путь от центральной усадьбы до районного центра.
Решение:
Пусть CD = х, тогда
Путь велосипедиста состоит из двух
участков AD и BD. На первом участке его
скорость равна 12 км/ч, на втором — 20
км/ч. Время, затраченное велосипедистом
на весь путь,
(1)
(Из прямоугольного треугольника АВС следует, что ВС = 24; следовательно, BD = 24 —х.)
Исследуем функцию (1) на экстремум. Найдем первую производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение. Имеем
(2)
откуда
Определим
знак производной (2) при
и при
При х = 7,5 производная изменяет знак с минуса на плюс; значит, при этом значении аргумента функция имеет минимум. Подставив в (1) х = 7,5, получим
Таким образом, минимальное время нахождения в пути велосипедиста составляет 1 ч 52 мин.
Заметим, что при x = 0, т.е. если выбрать кратчайший путь до асфальтированной дороги, а затем двигаться по ней, то время в пути составит у(0) = 2 ч 02 мин. Если же выбрать прямой путь по неасфальтированной дороге (т.е. при х = 24), то время в пути составит 2 ч 10 мин.