Пример расчета №3 «Расчет переходного процесса в цепи, содержащей нелинейный резистор»

Схема цепи показана на рис. 5.48.

	Данные для расчета: В, Ом, Ом, мкФ. Вольт-амперная характеристика представлена на рис.5.39. Ток на вольт-амперной характеристике соответствует току на схеме.
Рис. 5.48

1. – момент коммутации.

2. Для по законам Кирхгофа составим систему уравнений:

, (5.24)

где u – напряжение на нелинейном резисторе.

Преобразуем данную систему к одному дифференциальному уравнению, в котором фигурируют только те переменные, которые описывают характеристику нелинейного элемента – для данной задачи напряжение на нелинейном резисторе u и ток через него .

Из третьего уравнения системы (5.24) выражаем ток :

.

Выразив из второго уравнения системы (5.24) напряжение конденсатора , определяем ток через конденсатор:

.

Подставляя полученные выражения для токов и в первое уравнение системы (5.24), получим требуемое дифференциальное уравнение:

или, умножая на :

.

Подставляя численные значения параметров, получим расчетное уравнение

. (5.25)

Дифференциальное уравнение (5.25) является нелинейным, так как нелинейной является зависимость .

3. Определим рабочий участок на вольт=амперной характеристике.

3.1. Рассмотрим установившийся режим до коммутации ( ).

Так как в этом режиме конденсатор был не подключен к источнику энергии, напряжение на конденсаторе будет равно нулю:

В.

В соответствии с законом коммутации , тогда из второго уравнения системы (5.24) В. По вольт-амперной характеристике находим ток А. Таким образом, мы нашли координаты начала рабочего участка – точки А (рис.5.49).

3.2. Найдем напряжение на резисторе в установившемся режиме после коммутации ( ).

Поскольку в этом режиме в цепи действует источник постоянного напряжения, в уравнении (5.25) следует положить , в результате это уравнение приобретает вид:

. (5.26)

Тогда напряжение на нелинейном сопротивлении можно найти, как точку пересечения вольт-амперной характеристики с прямой (5.26). Найденная точка с координатами В, А определяет конец рабочего участка – точку В на рис.5.49.

Рис.5.49

4. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Аппроксимируем зависимость на участке АВ двумя отрезками прямых АС и СВ. Выбираем положение точки С. Например, В, А (рис.5.49).

1). Рассмотрим участок АС.

На этом участке отрезок аппроксимирующей прямой описывается следующим уравнением

, (5.27)

где Ом – эквивалентное сопротивление участка АС.

Уравнение (5.27) подставляем в уравнение (5.25) и получаем линейное дифференциальное уравнение относительно тока через резистор :

,

откуда

,

и окончательно:

. (5.28)

Решение уравнения (5.28) ищем в виде:

, (5.29)

где – величина, соответствующая установившемуся режиму после коммутации ( ), – постоянная, определяемая начальными условиями, – корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение

,

откуда 1/с.

Для установившегося режима после коммутации имеем

А.

Для определения постоянной запишем (5.29) для момента коммутации ( ):

, откуда .

Окончательно решение уравнения (5.29) имеет вид:

А. (5.30)

Это решение действует на участке АС, которому соответствует интервал времени от до момента времени , соответствующего точке С. Найдем этот момент времени, используя выражение (5.30), записанное для точки С:

,

откуда

с.

2). Рассмотрим участок СВ.

На этом участке отрезок прямой описывается уравнением

, (5.31)

где Ом – эквивалентное сопротивление участка СВ.

Уравнение (5.31) подставляем в уравнение (5.25) и получаем линейное дифференциальное уравнение относительно тока через резистор :

. (5.32)

Поскольку это уравнение справедливо для участка СВ, на который мы попадаем спустя время после начала переходного процесса, решение ищем в виде:

. (5.33)

Характеристическое уравнение

откуда 1/с.

Для установившегося режима после коммутации имеем А.

Запишем (5.33) для момента :

, откуда .

В результате решение уравнения (5.33) примет вид:

А. (5.34)

На рис.5.50 построена зависимость изменения напряжения по выражениям (5.30) и (5.34).