Глосарій.

Сума векторів (а_x; а_y; а_z) + (b_x; b_y; b_z) = (а_x + b_x; а_y + b_y; а_z + b_z).

Різниця векторів (а_x; а_y; а_z) – (b_x; b_y; b_z) = (а_x – b_x; а_y – b_y; а_z – b_z).

Добуток вектора на числоλ· (а_x; а_y; а_z) = (λа_x; λа_y; λа_z)

Скалярним добутком векторів (а_x; а_y; а_z) ∙ (b_x; b_y; b_z) назива­ється число (скаляр) · = а_x · b_x + а_y · b_y + а_z · b_z.

Властивості.

1) · = · .

2) ( + ) · = · + · .

3) Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними: · = · cos φ

Два відмінні від нуля вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю

Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на ви­соту, тобто V = SH , де S — площа основи піраміди, Н — її висота.

Об'єм зрізаної піраміди, площі основ і висота якої дорівнюють відповідно S, S₁ і h, можна знаходити за формулою

V = h (S+ +S₁)

ТЕМА №11: Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання.

Зміст.

• Тіла і поверхні обертання.

• Об’єми та площі тіл обертання: циліндра, конуса.

• Об’єми та площі тіл обертання: кулі та її частин.

Література.

• Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.

• Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.

• Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001

• Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В. Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

• Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П. Нелін: Харків «Гімназія» 2010.

• Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.

Завдання для перевірки якості засвоєння знань.

Завдання №1.

1. Площа основи конуса дорівнює 36π см², а його твірна — 10 см. Знайдіть висоту конуса.

2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює l і утворює з площиною основи кут α . Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.

3. Через вершину конуса з основою радіуса R проведено площину, що перетинає його основу по хорді, яку видно із центра основи під ку­том α, а з вершини — під кутом β. Знайдіть площу перерізу. .

4. Твірна зрізаного конуса дорівнює 5 см, а радіуси основ — 3 см і 6 см. Знайдіть площу осьового перерізу.

5. Осьовий переріз циліндра — квадрат, діагональ якого дорівнює 4 см. Знайдіть площу основи циліндра.

6. Твірна конуса дорівнює l і утворює з площиною основи кут α. Знайдіть площу осьового перерізу конуса.

7. У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає основу по хордам, які стягують дугу α. Знайдіть площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр верхньої основи із серединою хорди нижньої основи, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β.

8. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 3 і 7 см, а твірна — 5 см. Знайдіть площу осьового перерізу.

9. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 64 см². Знайдіть площу основи циліндра.

10. Твірна конуса дорівнює l і утворює з висотою конуса кут β. Знай­діть площу осьового перерізу конуса.

11. У циліндрі з основою радіуса R паралельно до його осі проведено площину. Вона перетинає нижню основу по хорді, що видно з центра цієї основи під кутом 2α. Відрізок, який з'єднує центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи утворює з площи­ною основи кут β. Знайдіть площу перерізу.

12. Площі основ зрізаного конуса дорівнюють 4 і 16 см². Через середи­ну висоти проведено площину паралельно основі. Знайдіть площу перерізу.

13. Довжина кола основи конуса дорівнює 8я см, а його висота — З см. Знайдіть твірну конуса.

14. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює d і утворює з твір­ною кут β. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.

15. Через дві твірні конуса, кут між якими β, проведено площину. Площа осьового перерізу конуса дорівнює S, Знайдіть площу пере­різу, якщо твірна конуса утворює з висотою кут α.

Завдання №2

1. Твірна конуса — 5 см. Знайдіть об'єм конуса, якщо його висота до­рівнює 4 см.

2. Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть об'єм циліндра, якщо периметр осьового пе­рерізу дорівнює р.

3. Площина перерізу, що проходить через вершину конуса, перетинає його основу по хорді. Твірна конуса утворює з хордою кут, що до­рівнює α, а з висотою конуса — γ. Знайдіть об'єм конуса, якщо площа перерізу дорівнює М.

4. Радіуси основ кульового поясу дорівнюють 3 і 4 см, а радіус кулі 5 см. Знайдіть об'єм кульового поясу, якщо паралельні площини, які пере­тинають кулю, розміщені по один бік від центра кулі.

5. Твірна конуса дорівнює 5 см. Знайдіть об'єм конуса, якщо діаметр його основи дорівнює 8 см.

6. Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом α. Периметр осьового перерізу дорівнює р. Знайдіть об'єм циліндра.

7. Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює β, проведено пе­реріз, який перетинає основу по хорді довжиною а. Знайдіть об'єм конуса, якщо твірна нахилена до площини його основи під ку­том α.

8. Радіус кулі дорівнює R. Знайдіть об'єм кульового сектора, якщо дуга в осьовому перерізі сектора дорівнює 90° .

9. Осьовий переріз циліндра — квадрат, діагональ якого дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм циліндра.

10. В основі циліндра проведено хорду, що стягує дугу α. Відрізок, який сполучає центр іншої основи із серединою цієї хорди, дорів­нює l і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм цилінд­ра.

11. Із центра основи конуса до твірної проведено перпендикуляр, який утворює з висотою кут β. Твірна конуса дорівнює l. Знайдіть об'єм конуса.

12. Радіуси основ кульового поясу дорівнюють 3 і 4 см, а радіус кулі – 5 см. Знайдіть об'єм кульового поясу, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розміщені по різні боки від центра кулі.

13. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 36 см². Знайдіть об'єм циліндра.

14. В основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відстань від центра до хорди дорівнює а. Відрізок, який сполучає центр однієї основи з точкою кола іншої основи, утво­рює з площиною основи кут α. Знайдіть об'єм циліндра.

15. Хорда основи конуса дорівнює а і стягує дугу α. Відрізок, який сполучає вершину конуса із серединою хорди, нахилений до основи під кутом β. Знайдіть об'єм конуса.