Глосарій.

Трикутник

а) Медіани трикутника перетинаються в одній крапці й діляться цією крапкою у відношенні 2:1, уважаючи від вершини трикутника. Медіана ділить трикутник на два рівновеликих трикутники. Довжина медіани:

.

б) Бісектриси трикутника перетинаються в одній точцы, що є центром кола, вписаної в трикутник.

Бісектриса кута трикутника ділить сторону трикутника на частині, пропорційні прилягаючої до неї сторонам.

в) Середня лінія трикутника паралельна третій стороні й довжина її дорівнює половині довжини третьої сторони.

г) Теорема синусів

.

д) Теорема косинусів

с²=a²+b²-2abcosγ.

e) Трикутник

, , , , .

ж) Для рівностороннього трикутника .

2. Прямокутний трикутник

а) Теорема Пифагора . б) .

в) Теорема

, , .

3. Опуклий чотирикутник

а) ,де , - діагоналі чотирикутника, - кут між ними.

б) Опуклий чотирикутник є вписаним в окружність тоді й тільки тоді, коли сума двох його протилежних кутів дорівнює 180⁰.

в) В опуклий чотирикутник можна вписати окружність тоді й тільки тоді, коли суми довжин його протилежних сторін рівні.

4. Ромб

.

5. Паралелограм

а) Теорема ,де a й b його сторони, d₁ й d₂ – діагоналі.

б) .

6. Сектор

а) ,де l – довжина дуги сектора, - радіанна міра центрального кута.

б) .

7. Трапеція

а) ,де l - середня лінія трапеції. б) .

Методи розв'язування задач можна поділити на геометричні й аналітичні .

Аналітичні методи передбачають застосування тотожних перетворень і співвідношень, отриманих на підставі відомих геометричних фактів. Такі перетворення, формули часто застосовуються без урахування взаємного розміщення фігур і їхніх елементів. Розв'язати задачі, використовуючи аналітичний метод, досить часто можна без побудови рисунка.

Геометричні методи ґрунтуються на застосуванні властивостей, ознак фігур і співвідношень між ними. У цьому випадку обґрунтування задачі пов'язане із взаємним розміщенням самих фігур або їхніх елементів і тому супроводжується рисунком.

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Теорема.

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перети­наються.

Теорема.

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1. Відрізки зображаються відрізками;

2. Паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

3) Відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

ТЕМА №8: Вектори і координати. Многогранники.

Об’єми та площі поверхонь многогранників.

Зміст.

• Прямокутні координати в просторі. Дії над векторами, що задані координатами.

• Об’єми призми та піраміди.

Література.

• Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001

• Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В. Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Завдання для перевірки якості засвоєння знань.

Завдання №1.

Знайдіть площу основи та площу бічної поверхні та об'єм правильної n-кутної піраміди, якщо:

1) п = 3, висота піраміди дорівнює Н, а бічне ребро утворює з осно­вою кут  ;

2) п = 3, висота піраміди дорівнює Н і утворює з бічним ребром кут ;

3) п = 3, висота піраміди дорівнює Н, а бічна грань утворює з осно­вою кут γ;

4) п = 3, радіус кола, вписаного в основу, дорівнює r, а бічна грань утворює з основою кут γ;

5) п = 3, радіус кола, вписаного в основу, дорівнює r, а бічне ребро нахилене до основи під кутом  ;

6) п = 3, радіус кола, вписаного в основу, дорівнює r, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут ;

7) п = 3, радіус кола, описаного навколо основи, дорівнює R, а бічне ребро утворює з основою кут  ;

8) п = 3, радіус кола, описаного навколо основи, дорівнює R, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут ;

9) п = 3, радіус кола, описаного навколо основи, дорівнює R, а бічна грань утворює з основою кут γ;

10) n = 3, сторона основи дорівнює а, а бічне ребро нахилене до основи під кутом ;

11) п = 3, сторона основи дорівнює a, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут ;

12) n = 3, сторона основи дорівнює а, а бічна грань нахилена до основи піраміди під кутом γ;

13) n = 3, бічне ребро дорівнює b і утворює з площиною основи кут ;

14) n = 3, бічне ребро дорівнює b і утворює з висотою піраміди кут ;

15) n = 3, бічне ребро дорівнює b, а бічна грань утворює з основою кут γ;

16) n = 4, висота піраміди дорівнює Н, а бічне ребро нахилене до осно­ви під кутом ;

17) n = 6, висота піраміди дорівнює Н, а бічне ребро нахилене до осно­ви під кутом ;

18) n = 4, висота піраміди дорівнює Н, а бічне ребро утворює з висо­тою піраміди кут ;

19) n = 6, висота піраміди дорівнює Н, а бічне ребро утворює з висо­тою піраміди кут ;

20) n = 4, висота піраміди дорівнює Н, а бічна грань нахилена до осно­ви під кутом γ;

21) п = 6, висота піраміди дорівнює Н, а бічна грань нахилена до осно­ви під кутом γ;

22) п = 4, сторона основи дорівнює а, а бічне ребро нахилене до основи під кутом ;

23) n = 6, сторона основи дорівнює а, а бічне ребро нахилене до основи під кутом ;

24) n = 4, сторона основи дорівнює а, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут ;

25) n = 6, сторона основи дорівнює а, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут ;

26) n = 4, сторона основи дорівнює а, а бічна грань нахилена до основи під кутом γ;

27) n = 6, сторона основи дорівнює а, а бічна грань нахилена до основи під кутом γ;

28) n = 4, сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині піра­міди дорівнює ;

29) n = 6, сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині піра­міди дорівнює ;

30) n = 4, сторона основи дорівнює а і утворює з бічним ребром пірамі­ди кут .

Завдання №2.

Знайдіть об’єм правильної чотирикутної призми, у якої:

1) сторона основи дорівнює а, а діагональ призми нахилена до площи­ни основи під кутом α ;

2) сторона основи дорівнює а, а діагональ призми утворює з бічним ребром кут α ;

3) сторона основи дорівнює а, а діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом α ;

4) сторона основи дорівнює а, а діагональ бічної грані утворює з біч­ним ребром кут α;

5) сторона основи дорівнює а, а діагональ призми утворює зі стороною основи кут α ;

6) сторона основи дорівнює α, а діагональ призми утворює з бічною гранню кут α;

7) бічне ребро дорівнює b, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α ;

8) бічне ребро дорівнює b, а діагональ призми утворює з бічним реб­ром кут α;

9) бічне ребро дорівнює b, а діагональ бічної грані нахилена до площи­ни основи під кутом α ;

10) бічне ребро дорівнює b, а діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут α ;

11) бічне ребро дорівнює b, а діагональ призми утворює зі стороною ос­нови кут α;

12) бічне ребро дорівнює b, а діагональ призми утворює з бічною гран­ню кут α;

13) діагональ бічної грані дорівнює l, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α;

14) діагональ бічної грані дорівнює l, а діагональ призми утворює з бічним ребром кут α ;

15) діагональ бічної грані дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом α;

16) діагональ бічної грані дорівнює l і утворює з бічним ребром кут α;

17) діагональ бічної грані дорівнює l, а діагональ призми утворює зі стороною основи кут α;

18) діагональ бічної грані дорівнює l, а діагональ призми утворює з біч­ною гранню кут α;

19) діагональ призми дорівнює d і нахилена до площини основи під ку­том α;

20) діагональ призми дорівнює d і утворює з бічним ребром кут α;

21) діагональ призми дорівнює d, а діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом α;

22) діагональ призми дорівнює d, а діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут α;

23) діагональ призми дорівнює d і утворює зі стороною основи кут α;

24) діагональ призми дорівнює d і утворює з бічною гранню кут α;

25) діагональ основи призми дорівнює d, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α;

26) діагональ основи призми дорівнює d, а діагональ призми утворює з бічним ребром кут α;

27) діагональ основи призми дорівнює d, а діагональ бічної грані нахи­лена до площини основи під кутом α;

28) діагональ основи призми дорівнює d, а діагональ бічної грані утво­рює з бічним ребром кут α;

29) діагональ основи призми дорівнює d, а діагональ призми утворює зі стороною основи кут α;

30) діагональ основи призми дорівнює d, а діагональ призми утворює з бічною гранню кут α .

Завдання №3

1. Знайдіть відстань АВ, якщо А(-1; 3; -1), В(-1; 0; - 5). (Відповідь. АВ = 5.)

2. Знайдіть відстань від точки А(-1; 2; - 2) до початку координат.

(Відповідь. ОА = 3.)

3. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А (7; 1; -5), В (4;-3;-4), C (1;3;-2). (Відповідь. 14 + .)

4. Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А(3;2;2), В(1;1;1), С(-1;0;0)? (Відповідь. Так.)

5. На якій відстані від координатних площин і координатних осей розташована точка А (- 2; 3; 4) ?

(Відповідь. АА_x = 5; АА_y = 2 ; АА_z = ; АА_xy = 4 ; АА_xz = 3; АА_yz = 2.)

6. Яка з точок — А (2; 1; 6) чи В (-2; 1; 6) — лежить ближче до почат­ку координат? (Відповідь. Точка А.)

7. Дано точки К(0; 2; 1), Р(2; 0; 3) і T(-1; у; 0). Знайдіть таке зна­чення у, щоб виконувалась умова: КТ = РТ . (Відповідь. -3.)

8. Які координати середини С відрізка АВ, якщо А(0; 2; -11), В (2; 0; -1)? (Відповідь. С(1;1;-6).)

9. Дано С(2; 6; 3), А(4; 2; 1). Знайдіть координати точки В, якщо ві­домо, що

АС = ВС і точки А, В, С лежать на одній прямій. (Відповідь. В(0;10;5).)

9. Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо А(2; 0; 2), В(2;2;0), С(2;2;2). (Відповідь. A₁(2; 2; 1), B₁(2; 1; 2), C₁(2; 1; 1).)

10. Знайдіть довжину медіани AM трикутника АВС, якщо А (2; 1; 3), В(2; 1; 5), С(0; 1; 1). (Відповідь. AM = 1.)

11. Точки М(-2; 3; 4), N(3; 5; 2) і К(3; -5; 1) — середини сторін три¬кутника. Знайдіть координати вершин цього трикутника.

(Відповідь. (-2; -7; 3), (-2; -13; 5), (8; -3; -1).)

14.Точки А (3; 1; 8), В (4; 7; 1), С(3; 5; -8) — вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини D.

15. Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ від­носно площини хz, якщо А (5; - 2; 1), В (5; 3; 6).

16. Доведіть, що трикутник з вершинами А (7; 1; -5), В(4; -3; -4), C(1; 3; -1) — рівнобедрений.

17. Знайдіть довжину діагоналі BD паралелограма ABCD,якщо А(1; -3; 0), В(-2; 4; 1), С(-3; 1; 1).

18. При якому значенні т і п вектори (15; т; 1) і (18; 12; п) колінеарні?

19. Чи колінеарні вектори АВ і CD, якщо А(3; -2; 5), B(-1; 4; 7), C(1; 3; 6),

D(-3; 9; 18)?

20. При яких значеннях т і п вектори АВ і CD колінеарні, якщо A(1; 0; 2), B(3; n; 5), C(2; 2; 0), D(5; 4; m)?

21. Дано вектори (4; -5; 6), (-1; 2; 5). Знайдіть: + , – , | + |, | – |.

22. Чи лежать на одній прямій точки А, В, С, якщо А(3; -7; 8), В(-5; 4; 1), С (27; -40; 29)?

23. Знайдіть координати точки С такої, що СА+СВ=0, якщо А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3).

24. Знайдіть координати векторів і , якщо = + , = – , (4; -1; 5), (6; 3; 1).

25. Дано точки А(3; -2; 5), В(-4; 6; 1), С(-2; - 6; -11), D(х; у; z). Знайдіть х, у, z, якщо .

26. Абсолютна величина вектора (5; 3; z) дорівнює 9. Знайдіть z.

27. Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скаляр­ний добуток векторів дорівнює -3?

28.При якому значенні т вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпенди­кулярні?

29.Який кут утворюють вектори (-5; 0; 0) і (0; 3; 0)?

30.Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).