Метод поиска медианы Кемени

Метод поиска медианы Кемени позволяет найти такое итоговое ранжирование P, суммарное расстояние от которого до всех заданных ранжирований минимальное:

,

где m – количество экспертов, P₁, …, P_m – ранжирования, d(P,P_) – расстояние между ранжированиями [1, с. 73].

Таким образом, для поиска медианы необходимо ввести понятие расстояния между ранжированиями. Оно определяется с помощью матриц отношений , , , n – количество альтернатив.

r_i, r_j – ранги i-той и j-той альтернатив в ранжировании h-ого эксперта. Отметим, что ранги альтернатив сравниваются наоборот, то есть ранг r_i=1>r_j=2 (ранг 1 больше ранга 2) и r_i=5<r_j=3 (ранг 5 меньше ранга 3).

Расстояние от произвольного ранжирования P, которому соответствует матрица , до всех ранжирований P₁, P₂, …, P_m, которым соответствуют матрицы парных отношений , …, определяется по формуле:

.

Для нахождения медианы Кемени вводится матрица потерь , .

,

где P – ранжирование, элемент матрицы отношений p_ij которого равен 1.

При этом задача поиска медианы Кемени для ранжирований формулируется как задача отыскания такого упорядочения альтернатив, а следовательно, строк и столбцов матрицы потерь, чтобы сумма ее элементов, расположенных над диагональю, была минимальна.

Эвристический алгоритм поиска медианы Кемени

Пусть для исходных ранжирований матрица потерь определена. Процесс поиска итогового ранжирования состоит из 2 этапов.

На первом этапе строится предварительное ранжирование P_I.

1-я итерация. Подсчитаем суммы элементов строк матрицы потерь:

.

Найдем минимальную из них .

Альтернативу а_i1, ставим на первое место в искомом ранжировании. Вычеркивая в строку и столбец с номером i₁, получаем матрицу , множество индексов строк и столбцов которой соответственно I⁽¹⁾=J⁽¹⁾={1,…,n}\ I₁.

k-я итерация. В матрице потерь подсчитаем суммы элементов строк:

.

Найдем минимальную из них:

.

Альтернативу а_ik, ставим на k-тое место в искомом упорядочении. Вычеркивая в строку и столбец с номером i_k, получаем матрицу , множество индексов строк и столбцов которой соответственно I^(k)=J^(k)={1,…,n}\ {i₁, …,i_k}.

Алгоритм завершается после n-й итерации (I^(k)=J^(k) и равны пустому множеству). Искомое упорядочение

На втором этапе из найденного ранжирования P_I получают итоговое ранжирование P_II, при этом процесс перехода от ранжирования P_I к ранжированию P_II происходит следующим образом: для элементов ранжирования P_I последовательно проверяем справедливость соотношений (1)

(2)

Как только для некоторого k оно нарушено, альтернативы a_ik и a_ik+1 в ранжировании меняем местами, а соотношение (1) проверяем, начиная с альтернативы, непосредственно предшествующей альтернативе, подвергшейся перестановке. После конечного числа шагов будет получено ранжирование P_II.

Пример построения итогового ранжирования с помощью метода поиска медианы Кемени

Рассмотрим процесс построения итогового ранжирования на примере, рассмотренном ранее (исходные данные представлены в табл. 1).

1. Построим матрицы отношений для ранжирований экспертов:

	0	-1	-1	-1		0	-1	-1	-1
	1	0	-1	1		1	0	1	1
	1	1	0	1		1	-1	0	1
	1	-1	-1	0		1	-1	-1	0
	0	1	1	1		0	0	-1	-1
	-1	0	-1	-1		0	0	-1	-1
	-1	1	0	0		1	1	0	-1
	-1	1	0	0		1	1	1	0

Например, p₁₂⁽¹⁾=-1, так как r₁<r₂ (r₁=3, r₂=1), p₃₄⁽²⁾=0, так как r₃=r₄ (r₃=2, r₄=2).

2. Матрица потерь имеет следующий вид:

0	5	6	6
3	0	6	4
2	2	0	3
2	4	5	0

Например, r₁₂=d₁₂(P₁,P₃)+d₁₂(P₂,P₃)+d₁₂(P₄,P₃), так как P₃ – ранжирование, элемент матрицы отношений которого p₁₂⁽³⁾=1.

Тогда r₁₂=|p₁₂⁽³⁾-p₁₂⁽¹⁾|+|p₁₂⁽²⁾-p₁₂⁽³⁾|+|p₁₂⁽³⁾-p₁₂⁽⁴⁾|=|1-(-1)|+ |1-(-1)|+ |1-0|=5.

3. Найдем предварительное ранжирование P_I (первый этап).

1-я итерация. Подсчитаем

Минимум достигается на S₃⁽¹⁾. На первое место в ранжировании P_I помещается альтернатива a₃, и она из дальнейших рассмотрений исключается.

2-я итерация. Подсчитаем

Минимум достигается на S₄⁽²⁾. На второе место в ранжировании P_I помещается альтернатива a₄, и она из дальнейших рассмотрений исключается.

3-я итерация. Подсчитаем

Минимум достигается на S₂⁽³⁾. На третье место в ранжировании P_I помещается альтернатива a₂, и она из дальнейших рассмотрений исключается. Таким образом, ранжирование P_I имеет следующий вид:

4. Найдем ранжирование Р_II (второй этап).

Итак, i₁=3, i₂=4, i₃=2, i₄=1. Сравниваем и или r₂₁ и r₁₂, Так как r₂₁≤r₁₂ (3≤5), то альтернативы не меняем местами, переходим к сравнению r₄₂ и r₂₄. Так как r₄₂≤r₂₄ (4≤4), то переходим к сравнению r₃₄ и r₄₃. Поскольку r₃₄<r₄₃ (3≤5), то найденное ранжирование

и является ранжированием Р_II, для которого соотношения (1) выполнены.

Итоговые ранжирования альтернатив по методу Борда и методу поиска медианы Кемени представлены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты построения итогового ранжирования с помощью метода Борда и метода поиска медианы Кемени

Альтернатива	Место в итоговом ранжировании (Кемени)	Место в итоговом ранжировании (Борд)
a1	4	3
a2	2	4
a3	1	1
a4	3	2

Результаты работы описанных выше методов иногда могут различаться достаточно сильно. Метод Борда дает результаты, которые интуитивно понятны, так как в его основе лежит идея усреднения оценок. Что касается метода поиска медианы Кемени, то он, наоборот, может давать непредвиденные результаты. Для получения итогового ранжирования в методе используется специально оценка – расстояние между ранжированиями. А рассмотренный нами алгоритм получения итогового ранжирования основан на эвристике – предположении, что построенное таким образом итоговое ранжирование и будет наиболее близким к мнению всех экспертов с точки зрения введенной оценки.