Содержание.

В лабораторном практикуме рассмотрены основные методы выбора в конечном множестве альтернатив. Лабораторный практикум включает пять лабораторных работ. Первая работа ориентирована на приобретение навыков формулирования проблемы выбора в условия определенности. Во второй - в условиях неопределенности. В третьей - работе изучаются методы векторной оптимизации. Четвёртая работа посвящена изучению методов многокритериальной оценке объектов методом анализа иерархии Саати. В пятой работе изучаются методы принятия решений на фондовом рынке с помощью аппарата технического анализа.

№	Названия разделов дисциплины	Название лабораторных работ	Затраты времени (час.)
1	Методы решения однокритериальных статических детерминированных ЗПР	Метод Гомори	4
2	Методы согласования экспертных оценок	Метод построения медианы Кемени	4
3	Методы принятия решений при многих критериях .	Метод предпочтения и замещения	4
4		Метод Иерархии Саати	4
5	OLAP-технологии и принятие решений на фондовом рынке	Принятие решений на фондовом рынке в среде Metastock7	4
	Всего по дисциплине		20

Описание лабораторных работ

Лабораторная работа №1

Тема: задача целочисленного линейного программирования.

Метод гомори

Цель работы. Освоение модели принятия решений в условиях определенности.

Задачи.

– уметь составить математическую модель экономической задачи в

виде задачи целочисленного программирования;

– уметь решить задачу целочисленного программирования методом

Гомори;

– уметь решить задачу целочисленного программирования методом

ветвей и границ;

– уметь решить задачу целочисленного программирования средст-

вами ПЭР;

– приобрести навыки решения различных задач целочисленного про-

граммирования.

Теоретическая часть .

Постановка целочисленной задачи линейного программирования.

Найти вектор x=(x₁...,x_n), что минимизирует целевую функцию

L(x)= c₁x₁ + ... + c_nx_n (1.1)

и удовлетворяет системе ограничений

a₁₁x₁ + . . . + a_1n x_n = a₁₀

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.2)

a_m1x1 + . . . + a_mnx_n = a_m0

x_j0, j=1...,n (1.3)

x_j — цели, j=1...,n. (1.4)

Изложение метода Гомори

Задача целочисленного программирования (ЦЛП) формулируется так же, как и задача ЛП, но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение должны быть целыми неотрицательными числами. Симплекс – метод не гарантирует целочисленности решения задачи , поэтому для отыскания оптимального целочисленного решения задачи ЦЛП требуются специальные методы. Один из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен американским математиков Р. Гомори . Идея метода следующая. С помощью симплекс – метода решается задача ЛП без условия целочисленности. Если оптимальное решение получается нецелочисленным, то вводится дополнительное ограничение, которое, уменьшая многогранник допустимых решений (отсекая некоторую его часть), не исключает из него целочисленных точек. Если оптимальное решение задачи ЛП с дополнительным ограничением целочисленное, то вычисления заканчивают; если же оптимальное решение содержит, хотя бы одну дробную компоненту, добавляют новое дополнительное ограничение. Процесс присоединения дополнительных ограничений повторяют до тех пор, пока либо не будет найдено целочисленное оптимальное решение, либо показано, что задача не имеет целочисленных решений.

Алгоритм метода Гомори

Шаг 1. Симплекс-методом находим оптимальное решение задачи без учета условия целочисленности. Если задача не имеет решения, то неразрешима и исходная задача ЦЛП. В случае алгоритм завершает работу. Шаг 2. Пусть оптимальная таблица имеет вид: b

Если элементы – целые, то оптимальное решение является целочисленным. В этом случае вычисления заканчиваем. Иначе, переходим к следующему шагу. Шаг 3. Среди дробных компонент таблицы выбираем элемент с максимальной дробной частью и по строке i составляем дополнительное ограничение:

Здесь - целая часть числа (наибольшее целое число, не превышающее число ). Шаг 4. Добавляем построенное ограничение к последней симплекс-таблице и, применяя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение. Переходим к шагу 2. Замечания. 1. Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление в таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами (поскольку соответствующее уравнение неразрешимо в целых числах). 2. На шаге 4 двойственный симплекс-метод применяется до тех пор, пока не будет получена оптимальная симплексная таблица (возможно потребуется несколько итераций). 3. Если на шаге 4 в базис вводится переменная дополнительного ограничения, то эта строка вычеркивается из симплексной таблицы (соответствующее ограничение является избыточным).

Пример. Решить задачу ЦЛП.

Решаем задачу без условия целочисленности симплекс-методом. Оптимальная таблица имеет вид:

b

L -14/3 -4/3 -2/3

5/3 1/3 2/3

4/3 2/3 -2/3

Оптимальное решение не является целочисленным. Выберем среди нецелочисленных переменных переменную с максимальной дробной частью и построим соответствующее отсечение:

Приписывая это ограничение к симплексной таблице и проводя стандартное преобразование двойственным симплекс-методом, получим:

b

L -14/3 -4/3 -2/3

5/3 1/3 2/3

4/3 2/3 -2/3

-2/3 -1/3 -2/3

b

L -4 -1 -1

1 0 1

2 1 -1

1 ½ -3/2

Полученная таблица является оптимальной. Соответствующее оптимальное решение является целочисленным.

1. Для проведения лабораторной работы требуются:

Операционная система WINDOWS XP, пакет принятия экономических решений ПЭР.

Задание.

Решить методом Гомори-1 задачи целочисленного линейного программирования, условия которых задаются модулем с помощью команды «Данные» главного меню (задачи №1–№9), а также следующие задачи.

1)	5 x1 + 6 x2 + 6 x3  min	2)	6 x1 + 4 x2  min
	2 x1 + 4 x2  10		2 x1 + x2  3
	3 x1 + 2 x2 + 2 x3  10;		x1 – x2  1;

3)	6 x1 + 4 x2  min	4)	x1 + x2  min
	2 x1 + x2  3		– x1 – x2 + x5 = –1
	x1 – 2 x2  2		–2 x1 + 2 x2 + x3 = –2
	3 x1 + 2 x2  1;		–4 x1 + 2 x2 + x4 = –1;

5)	6 x1 + 4 x2  min	6)	2 x1 + 3 x2  min
	2 x1 + x2  3		x1 + 2 x2  16
	x1 – x2  1;		2 x1 + x2  16;

7)	5 x1 – 3 x2  max	8)	5 x2 + 7 x4  min
	3 x1 + 2 x2  6		– 10 x2 + x3 + x4 = –16
	2 x1 – 3 x2  – 6		x1 – 3 x2 – 3 x4 = –12
	x1 – x2  4		– 6 x2 – 2 x4 + x5 = –17;

9)	– 5 x4 – 7 x5  max	10)	8 x1 + 2 x2  max
	x1 – x4 – 2 x5 = – 7		x1 – 4 x2 + x3 = 4
	– x3 + 3 x4 – 6 x5 = – 3		– 4 x1 + x2 + x4 = 4
	x2 – x4 – 4 x5 = –11;		x1 + x2 + x5 = 6.

Ответы:

1) x* = (3; 1; 0), L(x*)= 21.

2) x* = (1; 1), L(x*)= 10.

3) x* = (1; 1), L(x*)= 10.

4) x* = (1; 0; 0; 3; 0), L(x*)= 1.

5) x* = (2; 0), L(x*)= 12.

6) x* = (6; 5), L(x*)= 27.

7) x* = (18; 14), L(x*)= 48.

8) x* = (0; 4; 24; 0; 7), L(x*)= 20.

9) x* = (0; 0; 0; 3; 2), L(x*)= 29.

10) x* = (5; 1; 0; 0; 0), L(x*)= 42.

Требования к содержанию и оформлению отчета.

Отчет содержит основные этапы решения задания методом Гомори.

Критерии оценки выполнения лабораторной работы.

Работа считается защищенной, если выполнено и оформлено задание: расписан по шагам алгоритм с индивидуальными данными.

Литература.

1. Шелобаев С.И. Математические методы и модели, М. ЮНИТИ, 2006.

2. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М. Наука, 2009.

3. Балдин К.В., Быстров О.Ф. Математические методы в экономике. М.: Издательство Московского психолого-социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2004 г.