Задание для самостоятельной работы

Задача 2. Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью и плоскостями (рис. 42), если в каждой точке объемная плотность численно равна ординате этой точки.

Рис. 42

Задача 3. Определить центр тяжести однородного полушара:

Задача 4. Определить момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного поверхностями:

3. Решение геометрических и физических задач с помощью криволинейных интегралов

Наиболее просто посредством криволинейных интегралов вычисляются следующие величины:

1. Длина дуги AB плоской или пространственной линии:

   (1)

2. Площадь фигуры, расположенной в плоскости XOY и ограниченной замкнутой линией C:

(2)

где знак «+» показывает направление обхода области по замкнутому контуру С.

3. Масса материальной дуги AB:

(3)

где линейная плотность вещества в точке М дуги.

4. Координаты центра тяжести С дуги АВ:

(4)

В случае равномерного распределения массы выносится за знаки интегралов и сокращается.

5. Работа, совершаемая силой действующей на точку при перемещении ее по дуге AB:

(5)

Задача 5. Найти длину кардиоды:

Решение. Применяем формулу (1), исходя из данных параметрических уравнений кардиоды и формулы для дифференциала дуги плоской кривой, преобразуем криволинейный интеграл формулы (1) в обыкновенный интеграл с переменной t:

Вся кардиоида (рис. 43) получается при изменении t от до Поэтому

Ответ:

Рис. 43	Рис. 44

Задача 6. Найти площадь, ограниченную петлей декартова листа:

.

Решение. В начале преобразуем данное уравнение к параметрическому виду. Полагая получим:

Геометрически параметр есть угловой коэффициент полярного радиуса OM (рис. 44); точка опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до

Преобразуя криволинейный интеграл формулы (2) в обыкновенный интеграл с переменной t, получим:

Ответ:

Задание для самостоятельной работы

Задача 7. Найти массу дуги АВ кривой если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки:

Задача 8. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна апликате этой точки:

Указание.

Задача 9. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы т по дуге АВ некоторой кривой.

Решение. Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси Oz совпало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила а ее проекции на оси координат:

Согласно формуле (5) искомая работа

Она зависит только от разности аппликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.

Ответ:

Задача 10. Найти работу силового поля, в каждой точке которого напряжение (сила, действующая на единицу массы):

когда точка массы т описывает окружность

двигаясь по ходу часовой стрелки.

82