Задание для самостоятельной работы
Задача
12. Определить
момент инерции площади, ограниченной
линиями
относительно начала координат.
Задача
13. Определить
центр тяжести площади, ограниченной
линиями
Задача 14. Вычислить массу квадратной пластинки со стороной а, плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от одной из вершин квадрата.
Занятие №6. Решение задач с помощью кратных интегралов (продолжение занятия №5)
Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знания и умения решать типовые задачи.
Учебные вопросы
Решение геометрических задач.
Решение физических задач.
Ход занятия
1. Решение геометрических задач Задание для самостоятельной работы Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: (ав), (dc), (вс).
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
положительны
и
Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Указание. При
вычислении интеграла
воспользоваться подстановкой
и найти пределы интегрирования новой
переменной t.
Задача
4. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
касательной к ней, проведенной в точку
и осью
Ох.
Указание. Уравнение
касательной
Рационально внутренний интеграл
вычислить по переменной х.
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Указание.
Перейти к полярным координатам.
Задача 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
(рис.
28).
Рис. 28
Задача 7. Определить объем тела, ограниченного поверхностями:
(рис.
29).
Указание. Учесть симметрию тела относительно плоскости YOZ.
Рис. 29
Задача 8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
(рис.
30).
Рис. 30
Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
Рис. 31
Указание. Гиперболический
параболоид
пересекает плоскость
по двум прямым
Он ограничивает тело, симметричное
относительно плоскостей
и
На рисунке 31 изображена четвертая часть тела в I октанте.
Задача 10. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
а) цилиндром
и плоскостями
б) плоскостями
Указание. Тело
рассмотреть как цилиндрическое. Сверху
оно ограничено поверхностью
в) эллиптическим
параболоидом
и плоскостями: 
(рис. 32);
Рис. 32
г) 
2. Решение физических задач Задание для самостоятельной работы
Задача 11. Найти массу квадратной пластинки, в каждой точке которой поверхностная плотность пропорциональна сумме ее расстояний до диагоналей пластинки.
Задача
12. Пластинка
ограничена параболой
и ее хордой, проходящей через фокус
перпендикулярно к оси параболы. Найти
массу пластинки, если в каждой ее точке
поверхностная плотность обратно
пропорциональна расстоянию точки до
директрисы параболы.
Задача 13. Найти массу прямоугольника со сторонами a и b, в каждой точке которого поверхностная плотность пропорциональна квадрату расстояния ее от одной данной его вершины.
Задача 14. Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями:
а) 
б) полусегмента
параболы
,
отсеченного прямыми
в) 
г) одной
петлей кривой
д) кардиоидой
Задача 15. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями:
а) 
относительно оси Ох;
б) 
относительно начала координат;
в) 
относительно оси Ох;
г) 
относительно его большей оси.
Занятие №7. Вычисление криволинейных интегралов
Цель занятия: усвоить правила вычисления криволинейных интегралов на уровне умения решать типовые задачи.
Учебные вопросы
Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода).
Криволинейные интегралы II рода.
Приложения криволинейных интегралов.
Ход занятия