Получим и полярные уравнения данных окружностей (рис. 14). Тогда

Ответ:

Рис. 14

Задание для самостоятельной работы

Задача 6. Переходя к полярным координатам, вычислить:

1. 

где D ограничена окружностями:

2. 

где D – круг:

3. 

где D – кольцо между окружностями:

4. 

где D ограничена полуокружностью и осью Ох;

5. 

где D ограничена линиями:

6. 

где D ограничена окружностью

Задача 7. Вычислить двойной интеграл если область ограничена:

1. окружностями и

2. первым завитком спирали и полярной осью;

3. кривой

Задача 8. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной кардиоидой и полярной осью, если

Задача 9. Изменить порядок интегрирования:

1. 

2. 

Занятие №4. Решение задач с помощью кратных интегралов

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знания и умения решать типовые задачи.

Учебные вопросы

1. Вычисление площадей и объемов.

2. Вычисление площади поверхности.

Ход занятия

1. Вычисление площадей и объемов

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построив данные линии, получим криволинейный треугольник (рис. 15).

Площадь плоской области вычисляется по формуле

В данном случае рационально внешнее интегрирование вести по переменной х, а внутреннее – по у. Пределы внешнего интеграла найдем, решая совместно уравнения:

(задано).

Рис. 15

Таким образом:

(кв. ед.).

Ответ:

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

(рис. 16).

Рис. 16

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 17).

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Рис. 17	Рис. 18

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рис. 18).

Решение. Полагая преобразуем уравнение кривой к полярным координатам. В результате получим

Очевидно, что изменению полярного угла от 0 до соответствует четверть искомой площади. Следовательно,

Ответ:

Задача 8. Решить самостоятельно по образцу задачи 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение. Поверхность параболоид вращения, осью симметрии которого является ось Oz, вершина находится в точке (рис. 19). Поверхность есть плоскость, параллельная оси Oz. Остальные поверхности – координатные плоскости. На плоскость данное тело проектируется в треугольник, ограниченный координатными осями и прямой

Рис. 19

Ответ:

Решить самостоятельно по образцу задачи 9:

Задача 10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Рис. 20

Задача 11. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (рис. 20).

Задача 12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями