Задания

I УРОВЕНЬ

1. Попробуем использовать рекурсию, выводя на экран известные строки стихотворения.

uses CRT; procedure Pop; begin { if keypressed then halt;} writeln(‘У попа была собака, он ее любил’); writeln(‘Она съела кусок мяса, он ее убил’); writeln(‘похоронил и надпись написал:’); Pop; end; Begin Pop End.

Замечание: Программа будет работать до тех пор, пока не будет переполнен стек обращений процедуры к самой себе (ошибка 202). При рекурсивном программировании велика вероятность ошибки, поэтому стоит компилировать программу с директивами {$S+} (завершение работы программы и вывод сообщения об ошибке в случае переполнения стека) и {$R+} (включение проверки диапазона переменных). Можно в начале рекурсивной процедуры помещать строку IF KEYPRESSED THEN HALT (при зависании программы достаточно нажать любую клавишу).

Уберите фигурные скобки ({}) и опять выполните программу, но прервите ее выполнение до того, как появится сообщение об ошибке (нажмите любую клавишу).

2. Типичной функцией, на которой объясняют рекурсию, является факториал n!=1*2*3*…*n. Он может быть описан следующим образом

Т.е. для вычисления факториала, если n>1, нужно сначала вычислить (n-1)!. А для вычисления последнего надо сначала вычислить (n-2)!. Соответственно, для вычисления (n-2)! надо знать (n-3)! и т.д. Значение 1! (0!) задается явно. В программе реализованы два метода вычисления факториала: с помощью рекурсии {*} и прямой {**} – вычислением по формуле с использованием цикла.

{ factorial n! - rekurcia} uses crt; var s:longint; n: word; function f(n:word): longint; {recursion} {*} begin if keypressed then halt; if (n=1) or (n=0) then f:=1 else f:=n*f(n-1); end; function f_iter(n:word): longint; {iterazion } {**} var i:word; fi :longint;

begin fi:=1; for i:=1 to n do fi:=fi*i; f_iter:=fi; end; begin {осн. прогр. } write('vvedite n='); read(n);s:=f(n); writeln('recursion: factorial=',s); writeln('iterazion: factorial=',f_iter(n)); write('click <enter>'); readln; end.

Проверьте работу программы для n=2, 4, 9. Запишите ответы.

3. Сколько рекурсивных вызовов выполнится до того, как подпрограмма дойдет до n= 1 (выполнение действий на рекурсивном спуске)? А сколько действий выполнится после рекурсивного вызова (действия на рекурсивном возврате)?

4. Для закрепления понятия рекурсии запрограммируем вычисление n-го числа Фибоначчи также двумя методами: с использованием рекурсии и итерационным.

{fibonacci n! - rekurcion and iterazion} uses crt; var s:longint; n: word; function fib(n:word): longint; {recursion} var f:longint; begin if keypressed then halt; if (n=1) or (n=0) then fib:=1 else fib:=fib(n-1) + fib(n-2); end; function fib_iter(n:word): longint; {iterazion } var i:word; a,b,c :longint; begin a:=1; b:=1; if (n=1) or (n=0) then fib_iter:=1

else begin for i:=2 to n do begin c:=a+b; a:=b; b:=c; end; fib_iter:=c; end; end; begin { основная} write('vvedite n='); read(n); write('recursion: fibonacci=',fib(n)); writeln; writeln('iterazion: fibonacci=',fib_iter(n)); write('click <enter>'); readln; end.

Проверьте работу программы для n=2, 6, 10. Запишите ответы.

Сравните время выполнения и того и другого способа, указав n достаточно большим.

5. Рекурсивный алгоритм Евклида вычисления НОД:

Словами этот рекурсивный алгоритм можно выразить следующим образом. Для того, чтобы найти НОД двух чисел a и b, необходимо их сравнить. Если a=b, то НОД равен a. Если же одно из чисел больше другого, то нужно из большего вычесть меньшее, и повторно применить вышеизложенный алгоритм к паре чисел: разности большего и меньшего и меньшему из чисел. Процесс завершится, когда обачисла становятся равными.

Var a, b : longint; function NOD (a,b:longint):longint; begin if a>b then NOD := NOD(a-b,b) else if a<b then NOD := NOD (a,b-a) else NOD := a; end;

{основная программа} begin readln (a,b); writeln (NOD (a,b)); end.

Замечания:

А) Просмотреть действие рекурсивного алгоритма можно с помощью режима Debug /Add watch/ и выбрать в качестве просматриваемых переменных переменную ‘n’ (можно косвенно увидеть прямой и обратный ход рекурсии) при исполнении программы пошагово (нажимая F7) в окне Watches в помощью 7F6). Например, для n=4 n будет последовательно меняться n=4,3,2,1,1,2,3,4

Б) можно в рекурсивной подпрограмме ввести дополнительные переменные, присвоить им значения этих подпрограмм и просматривать уже значения дополнительных переменных.

5. Найти сумму факториалов 1!+2!+3!+…n! c использованием рекурсии.

6. Вывести на печать все n чисел Фибоначчи

ЗАДАНИЯ II УРОВНЯ:

1. Написать рекурсивную программу вычисления n- го члена арифметической прогрессии (для вычисления n-го члена арифметической прогрессии необходимо знать значение ее предыдущего члена, первого члена и значение разности d: a_n=a_n-1+d).

2. Написать рекурсивную программу вычисления целой неотрицательной степени числа А.

По определению Аⁿ=A*A*A*…..*A=A^n-1*A (n>0); А⁰ =1

Из определения следует, что для того, чтобы вычислить n-ю степень числа, необходимо знать значение (n-1)-й степени этого числа. Если же n=0, то значение степени равно 1.

3. Составить программу вычисления элементов последовательности, определенной следующим образом:

а(1)= 1,

а(n)= n-a(a(n-1)), n>1

Попробуйте вычислить несколько элементов этой последовательности вручную. А если просчитать с помощью компьютера 50, 100, 300 элементов?

4. Измените эту программу так, чтобы в ней использовалось рекурсивное обращение к элементам массива. Какая программа – с использованием рекурсивной функции или с рекурсивным обращением к элементам массива– быстрее?

5 Написать рекурсивную программу вычисления n-й степени числа А другим способом, например:

Аⁿ=A^n/2* A^n/2, если n –четно;

Аⁿ= A *A ^(n-1)/2 * A ^(n-1)/2, если n –нечетно. Проверьте вычисления для n=2.

А еще способы вычисления Аⁿ Вы можете придумать? Попробуйте.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

• Перевести арабские числа в римские (например, XCIX<=>99)

• Имеется уравнение (оно называется разностным):

A(0)=1,

A(n)=A(n div 2) +A(n div 3)

Вычислить решения разностного уравнения от 1 до указанного номера.

• Ханойская башня: необходимо перенести n дисков разного диаметра со стержня а на стержень с, используя стержень b как вспомогательный. Каждый меньший диск располагается на большем по диаметру диске. Взаиморасположение дисков после перемещения должно сохраниться. Разрешается переносить только один из верхних дисков какого-то стержня. Больший диск класть на меньший нельзя.

Для одного кольца сразу же перекладываем диск с a на c и сообщаем об этом.

Для двух дисков выполняем следующий перенос: ( указывается номер диска, и за двоеточием имя исходного диска “–“ имя конечного диска)

1: a-b 2: a-c 3: b-c (***)

А если у меня три кольца? Рассуждаем: переломное действие –переложить нижнее кольцо на пустой стержень. Для этого предварительно куда-то надо убрать два верхних кольца. А этот алгоритм уже освоен (***).

Пример работы программы:

vvedite n=3

a-c a-b c-b a-c b-a b-c a-c

vvedite n=4

a-b a-c b-c a-b c-a c-b a-b a-c b-c b-a c-a b-c a-b a-c b-c

Можно изменить порядок стержней и получить несколько другую программу:

Пример работы программы:

vvedite n=4

a-c a-b c-b a-c b-a b-c a-c a-b c-b c-a b-a c-b a-c a-b c-b

Задание: попробовать решить эту задачу нерекурсивно.

Сколько перекладываний понадобится для переноса 5 колец? 6 колец?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Какой процесс называют рекурсией?

2. Какие «правила безопасности» следует соблюдать при программировании рекурсивных функций?

3. Что называют глубиной рекурсии?

4. Что такое прямая рекурсия?

5. Для каких целей создают рекурсивные алгоритмы?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Тема: АЛГОРИТМЫ КОМБИНАТОРИКИ

ЦЕЛЬ: Учащиеся должны освоить алгоритм генерации перестановок элементов и иметь понятие о сочетаниях и размещениях.

ПО: PASCAL

ТЕОРИЯ:

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Основными величинами комбинаторики являются сочетания, размещения и перестановки.

Комбинации из n различных элементов, взятых в определенном порядке, называются перестановками из n элементов.

П р и м е р. Перестановки из элементов1, 2, 3 будут:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Количество перестановок из n элементов будет равно P_n =n!=1*2*3*…*n. При этом 0!=1.

Комбинации, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из n различных элементов, называются сочетаниями из n элементов по m. Порядок следования элементов не учитывается.

П р и м е р. Все сочетания из элементов a, b, c, по два: ab, ac, bc.

Количество сочетаний из k по n элементов равно

Комбинации, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждое из которых содержит m элементов, взятых из n различных элементов, называются размещениями из n элементов по m.

П р и м е р. Все размещения из элементов a, b, c по два: ab, ba, ac, ca, bc, cb.

Количество размещений из k по n элементов равно

Пример 1. В футбольной группе участвуют 17 команд. Сколькими вариантами могут быть распределены золотые, серебряные и бронзовые медали в группе?

Решение: k=3, n=17. По формуле размещений A_n^k=n*(n-1)*…*(n-k+1)= 17*(17-1)*(17-2)= получаем 17*16*15=4080 вариантов распределения наград между командами.

Пример 2. Сколько анаграмм можно получить из слова "март"?

Решение. Поскольку в слове "март" у нас 4 буквы, то общее количество перестановок букв будет равно P_n=n!, т.е. 1*2*3*4=24 анаграммы.

Пример 3. Cколькими способами можно расставить на шахматной доске (64 клетки) 8 ладей?

Решение. По формуле сочетаний получаем вариантов.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ:

1. Изучить необходимые сведения (см. выше).

2. Изучить задания. По каждому– разработать и ввести программу в память ЭВМ.

3. Выполнить программы.

6. Оформить отчет, защитить и сдать его преподавателю.

ЗАДАНИЯ

1. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, причем цифры не повторяются? Получите этот ответ с помощью программы.

2. Сколькими способами можно рассадить 24 ученика в классе, имеющем 28 свободных мест. Получите этот ответ с помощью программы.

3. Студентам требуется сдать 3 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать? Вычислите ответ с помощью компьютера.

4. Дана программа генерации перестановок из n элементов (n<=14, большее n не имеет практического смысла, хотя на экране помещается и n<=19):

Паскаль

Комментарии

var a,e: array[0..20] of integer; s,n,i, j,f:integer; begin write('Vedite n<=14'); readln(n); for i:=0 to n do a[i]:=i; repeat for i:=1 to n do write(a[i]:4); writeln; j:=n; while a[j-1]>a[j] do j:=j-1; f:=n; while a[j-1]>a[f] do f:=f-1; s:=a[j-1]; a[j-1]:=a[f]; a[f]:=s; for i:=j to n do e[i]:=a[n-(i-j)]; for i:=j to n do a[i]:=e[i] until a[0]<>0 end.

основной и вспомогательный массивы; n- количество элементов в перестановке; s–вспомогательная переменная; I, j,f– управляющие переменные циклов; [Ввод количества элементов n<=14] [ Получение начальной комбинации 1 2 3 …n] [Вывод очередной перестановки] [Элемент с меньшим номером сравнивается с элементом с большим номером до тех пор, пока не нарушится упорядоченность, т.е. элемент слева не станет меньше элемента справа] [Опять просматриваются элементы перестановки, пока не будет найден элемент, больший найденного в предыдущем цикле] [Меняем местами два найденных элемента] [Производится сортировка элементов, стоящих справа от найденного в порядке неубывания] [в массиве а формируем новую перестановку] [действия повторяются до тех пор, пока 0-ой элемент массива не станет отличным от 0]

5. Введите в программу дополнительную переменную, которая бы считала число сгенерированных перестановок

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА:   Задача о рюкзаке, которая формулируется так: Дан упорядоченный по неубыванию массив A целых положительных чисел и некоторое S. Необходимо найти все подпоследовательности массива A, сумма элементов которых равна в точности S.

А) Найти количество найденных последовательностей.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

6. В каких случаях применяется перебор вариантов?

7. Когда он будет эффективнее?

8. Что является условием окончания перебора в программе генерации перестановок?

9. Что такое сочетания? Как подсчитать количество сочетаний?

10. Что такое размещения? Как подсчитать количество размещений?

Оценка–10, если выполнены все задания и есть развернутые ответы на вопросы, иначе – в соответствии с количеством выполненных заданий и есть ответы на вопросы.