2.2 Бернуллиевские и локально однородные сцены

Причины упрощения модели сцены. Предположение о независимости пикселей. Предположение об однородности. Бернуллиевские сцены. Ковариационная функция. Однородные сцены. Теорема Слуцкого. Локально однородные сцены.

В соответствии с Теоремой 2.1.1 задание сцены состоит в разбиении на конечные непересекающиеся подмножества, называемые проекциями объектов, и сопоставлении каждой проекции распределения вероятностей на . Обсудим, как это можно сделать.

Очевидно, что распределение = на состоит из вероятностей. К сожалению, при решении прикладных задач априорные сведения о свойствах сцены, необходимые для определения вероятностей, образующих распределение , как правило, отсутствуют. В этих условиях приходится идти на упрощение модели сцены. Первым шагом в этом направлении, довольно часто, является отказ от учета зависимостей между случайными величинами, образующими объекты. Это означает, что для любых и справедливо равенство

= .

Из него следует, что для определения распределения объекта достаточно знать распределения вида = , , описывающие свойства его отдельных пикселей. Для этого достаточно знать вероятностей вида , , , вместо совместных вероятностей вида , .

Следующим упрощением, вызванным теми же причинами, является предположение о том, что все случайные величины, образующие объект , имеют одно и тоже распределение, то есть = для любых и любых . Это означает, что для определения на достаточно знать только распределение = на , содержащее вероятностей. Из Теоремы 2.1.1 следует существование сцены, для любого объекта которой выполняется равенство

= , .

Оно означает, что случайные величины , образующие объект , независимы в совокупности и имеют одно и то же распределение .

Из сделанных выше предположений (упрощений) следует, что изображение объекта является реализацией случайной выборки. Поэтому его можно использовать (по крайней мере, теоретически) для оценки неизвестных вероятностей распределения = и, тем более, его числовых характеристик, включая среднее значение и дисперсию . Далее сцены с указанными свойствами будут называться бернуллиевскими. В общем случае, если сцена не является бернуллиевской, относительную частоту наблюдения из на изображении объекта нельзя использовать в качестве оценки вероятности .

При отказе от любого из двух выше сформулированных предположений о свойствах сцены возникают серьезные проблемы с оценкой вероятностей распределения = на . В качестве возможного выхода из подобной ситуации предлагается для описания свойств объекта вместо распределения ограничиться средними значениями , и ковариациями случайных величин и , , , которые определяются равенством .

Из определения следует, что она является симметрической функцией. Более того, при любом натуральном , любых , , из и любых вещественных , , имеет место неравенство вида

= .

(2.2.1)

Оно означает, что симметрическая функция двух переменных и является неотрицательно определенной. Доказано (см., например, [Я]), что для любого семейства вещественных чисел и любой неотрицательно определенной функции существует случайное поле такое, что

и = , , .

При этом называется, ковариационной функцией слу­чайного поля . Если при любых , и из выполняются равенства

и ,

то случайное поле называется однородным. Из этого определения следует, что при лю­бых и из . То есть зависит только от разности . Поэтому далее при рассмотрении однородных случайных полей символ будет обозначать функцию с одним переменным, определенную на .

Пусть - квадрат со стороной , а - его изображение. Если при ковариационная функция однородного случайного поля стремится к нулю, то из эргодической теоремы Слуцкого (см., например, [63, с. 60]) следует, что среднее арифметическое значение , определяемое равенством

= ,

сходится в среднем квадратичном к . Из сходимости в среднем квадратичном следует сходимость по вероятности (см., например, [ ]). Поэтому является состоятельной и несмещенной оценкой среднего значения . Строго говоря, теорема Слуцкого была доказана для стационарных случайных последовательностей и случайных процессов. Однако ее доказательство обобщается естественным образом на однородные случайные поля на .

Визуальный анализ изображений реальных сцен, полученных в разных спектральных зонах, позволяет утверждать, что средние яркости и ковариации образующих сцену объектов могут значительно отличаться друг от друга. Поэтому далее предполагается, что каждый объект сцены является фрагментом однородного случайного поля со средним значением и ковариационной функцией . Пусть

=

- квадратная окрестность точ­ки , принадлежащая проекции . Тогда среднее арифметическое значение вида

,

вычисленное по изображению квадрата , может рассматриваться в качестве оценки неизвестного среднего значения . Необходимо подчеркнуть, что в общем случае (если не выполняются условия теоремы Слуцкого) среднее арифметическое не имеет наглядной содержательной интерпретации.

В связи со сказанным будем называть далее сцену локально однородной, если каждый ее объект является фрагментом однородного случайного поля с при . Последнее предположение позволяет оценивать по изображению объекта его среднее значение.