2 Модель сцены и задача поиска объектов

Поток излучения каждого пикселя сцены зависит от большого числа быстро меняющихся факторов. Поэтому угадать заранее, какой он будет в тот или иной момент времени, не представляется возможным. Тем не менее, имеющиеся данные статистического характера об излучательных и отражательных свойствах естественных и искусственных материалов позволяют в математических исследованиях считать пиксель до проведения съемки случайной величиной, а сцену – случайным полем. Несмотря на широкое распространение среди специалистов указанной точки зрения, количество работ, посвященных исследованию непосредственно вероятностных моделей сцен, относительно невелико. Как правило, авторы подразумевают, что сцена обладает всеми нужными свойствами или ограничиваются случаем, когда ее пиксели являются независимыми в совокупностями случайными величинами.

В настоящей работе под сценой подразумевается счетное семейством скалярных случайных величин, определенных на целочисленной двумерной решетке, то есть случайное поле. Свойства сцены формулируются в терминах конечномерных распределений, а для доказательства ее существования применяется теорема Колмогорова.

В 2.1 вводятся формальные определения объекта, изображения и формулируется теорема существования сцен определенного вида. В 2.2 определяется класс сцен, названных локально однородными. При выполнении достаточно естественных, с точки зрения приложений, условий, сформулированных в эргодической теореме Слуцкого, изображения присутствующих на них объектов можно использовать для вычисления оценок средних значений. Именно такие сцены исследуются в настоящей работе. В частном случае, когда образующие сцену пиксели независимы в совокупности, изображение сцены является реализацией случайной выборки и обеспечивает (по крайней мере, теоретически) восстановление распределений признаков объектов. Подобные сцены называются далее бернуллиевскими. В 2.3 приводятся примеры и описывается способ построения сцен и изображений, использующихся в настоящей работе. В 2.4. вводятся важные определения объектов, называемых пятнами, и зон интереса, а также формулируется задача поиска объектов.

2.1 Вероятностный подход к описанию сцены

Формальное определение пикселя, сцены и изображения сцены. Объект и его изображение. Распределение изображений объекта. Теорема существования.

Будем рассматривать сцену как совокупность неделимых элементов, называемых далее пикселями. Каждый пиксель характеризуется индивидуальными целочисленными координатами , заданными на двумерной целочисленной решетке

,

и скалярной случайной величиной со значениями из конечного множества , содержащего элементов. Далее будет предполагаться, если не оговорено противное, что . Случайная величина описывает исследуемое свойство пикселя, значение которого становится известно только после его измерения (съемки). Предполагается, что все случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве . В качестве можно выбрать, например, множество всех отображений вида , а множество всех подмножеств из - в качестве -алгебры . Способы задания вероятности на обсуждаются далее в 2.2. Счетное семейство случайных величин принято называть в теории вероятностей случайным полем на . В настоящей работе оно будет называться также сценой.

Пусть - некоторое элементарное событие из и . Для каждой случайной величины можно вычислить выборочное значение . Скалярное отображение , определяемое для любого равенством и обозначаемое , будет называться изображением сцены.

При решении прикладных задач довольно часто интерес представляют не отдельные пиксели, а их конечные совокупности, которые будут называться объектами. Каждый объект определяется конечным подмножеством точек из , которые являются координатами его пикселей, и семейством из скалярных случайных величин. Подмножество называется далее проекцией объекта. Предполагается, что проекции разных объектов не пересекаются, а их объединение совпадает с . Изображением объекта будет называться сужение на изображения всей сцены. Далее символом будет обозначаться множество

=

всех изображений объекта .

Если сцена задана, то для любого изображения объекта можно вычислить его вероятность

= .

Очевидно, что

и .

Поэтому семейство = задает распределение вероятностей на множестве всех подмножеств из . Далее будет называться распределением объекта . С другой стороны, справедливо и обратное утверждение, которое удобно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть на задано разбиение, состоящее из ко­неч­ных попарно непересекающихся подмножеств, называемых проекциями объектов сцены, и пусть каждой проекции поставлено в соответствие распределение вероятностей на . Тогда существует вероятностное пространство и сцена такая, что

для любой проекции и для любого . Кроме того, если и - проекции разных объектов сцены, а и , то

.

Из сформулированной теоремы следует, что построение сцены, с формальной точки зрения, сводится к разбиению на конечные подмножества (проекции образующих ее объектов) и заданию для каждой проекции совместного распределения на . Свойства этих распределений определяются имеющейся информацией о соответствующих объектах сцены.